18 PH. FURTWÄNGLER, 



Zweiter Fall, ft sei genau durcli teilbar, v zu p prim, wobei wir 

 annelimen, dass « ^ 0 (l), da wir sonst, ohne K zu ändern, fi durch ein zu p 

 teilerfremdes ft* ersetzen könnten. Es ist in diesem Falle nacli Definition: 



V, II 



Es ist also nachzuweisen : 



1) Ist ^-^j = +1, so ist V Normenrest von K nach p. 



2) Ist V Normenrest von K nach p, so ist = +1- 



+ 1, so ist V = (^\P)) also 



V = N,{a) ip). 



1) 1. i^) 



2) Ist V = N,{Ä) ip), 



wo A eine ganze Zahl in K bedeutet, so folgt, da in K 



p = wird , 

 ^ = n (p). Es ist also 



Ä = a {^), wo a eine ganze Zahl in bedeutet, folglich auch 



V = a' (^) , daher auch nach (p) , d. h. = + 1 . 



D r i 1 1 e r F a 11. Es sei jtt zu p prim , v genau durch p" teilbar , wo wir 

 wieder a ^ 0 {l) annehmen. Es ist dann 



Wir haben daher zu zeigen 

 p / \p/ ^ 



1) Ist ^-^j = 1 , so ist V Normenrest von K nach p. 



2) Ist V Normenrest von K nach p , so ist ^-^j = 1 . 



1) Ist ^-^j = + 1 , so zerfällt p in K in l verschiedene Primfaktoren : 



Ist nun A eine ganze Zahl aus K, die genau durch die erste Potenz von ^ 

 teilbar ist, so ist a = N^iA) eine ganze Zahl aus die genau durch die erste 



Potenz von p teilbar ist. Bedeutet ferner q eine durch — teilbare, zu p prime 

 Zahl, so ist 



