ÜBER DAS EECIPROCITÄTSGESETZ DEE P^" POTENZEESTE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖEPERN. 19 



eine ganze Zahl in 7c, die zu p prim ist. Es existiert dann nach Fall 1 eine ganze 

 Zahl P in K, so dass 



Bestimmt man nun so, dass qq* = 1 (p'), so folgt 



V = ]S\{PAY^) (PO 

 d. h. V ist Normenrest von E nach p. 

 2) Ist V = N,{P) (PO, so wird 



p = (p,P) (p,SP) . . . (p,S'-P) 

 und folglich ist, da p in der Relativdiscriminante von K nicht aufgeht, nach 

 Satz 6 = + 1. 



Vierter Fall. Es sei ja durch p", v durch p* teilbar, wobei wir a^O(0 

 annehmen. Wir bestimmen dann zunächst c so, dass h -\- ac = Id wird, wo c 

 und d ganze rationale Zahlen bedeuten. 



Ist nun (^) = +1, so ist auch (^i^) = 1 



(Satz 14, Formel 1 und 3). 



Wenn wir daher n so wählen, dass es genau durch die erste Potenz von p 



teilbar ist und q so, dass es durch ^ teilbar ist und zu p prim, so ist v^i -^-^ j 



eine ganze Zahl in h, die zu p prim ist, und da 



SO ist i/ft" {^—^ und folglich auch v selbst Normenrest von K nach p. Ent- 

 sprechend wird der umgekehrte Schluss ausgeführt. Aus dem eben Bewiesenen 

 und aus der Definition des Symbols ^ j ergiebt sich leicht der folgende Satz. 



Satz 16. Ist p ein zu I primes Primideal in Ts:, das nicht in der Relativ- 

 discriminante des Körpers K{\J^,l) aufgeht, so ist jede zu p prime Zahl in h 

 Normenrest des Körpers K nach p. 



Greht dagegen p in der Relativdiscriminante von K auf und ist e ein be- 

 Kebiger positiver Exponent, so sind von allen nach p' einander incongruenten 

 zu p primen Zahlen genau der Teil Normenreste des Körpers K nach p. 



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