ÜBER DAS EECIPBOCITÄTSGESETZ DER Z*^" POTENZRESTE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLEÖRPERN. 21 



Tinserem Falle, dass jeder Complex P, der eine ambige Classe Ä enthält, ein 

 ambiger Complex ist , der , wie wir sagen wollen , aus Ä entspringt. Enthält 

 speciell die ambige Classe ein ambiges Ideal 2t , so soll der Complex aus dem 

 ambigen Ideal 21 entsprungen beissen. Mit der Anzahl der Complexe der letz- 

 teren Art haben wir uns zunächst zu beschäftigen, indem wir folgenden Satz 

 beweisen : 



Satz 19. Ist die Anzahl aller ambigen Ideale des Körpers K gleich V 

 und machen die sämmtlichen Einheiten in /,', die Relativnormen von Einheiten in 

 K sind, i"''' Einheitenverbände aus, so gilt, wenn wir die Anzahl aller ambigen 

 Complexe , die aus ambigen Idealen entspringen , mit l"* bezeichnen , für a* die 

 Ungleichung : 



t + V* — m — 1 Un = — — '~\ . 



Beweis. Wir nehmen zunächst an , dass die Zahl ft , die den Körper K 

 bestimmt, nicht das Produkt einer Einheit in Je mit der Potenz einer Zahl 

 in Je ist. 



Wenn diese Bedingung erfüllt ist, liegt die im § 4 erwähnte Einheit [f] 

 stets in Je und jede Einheit e in Ii , die Relativnorm einer Einheit in K ist, ist 

 dann in der Form darstellbar 



n., u , i-i 



^ = Vi' • ■ • VJ' 5 



WO I eine Einheit aus Ii ist, i}^ . . . t],^, die im § 4 angegebene Bedeutung haben 

 und ifj . . . irgend welche Zahlen 0, 1, 2 . . . l — 1 sind. 



Da nun zusammen 1"'^ Einheitenverbände von Einheiten der bezeichneten Art 

 existieren, so muss man unter den Einheiten rj^ . . . tj^, v* auswählen könnenj 

 etwa 7]^, rjr^, • ■ ■ so dass jede Einheit s in Ii, die Relativnorm einer Einheit 

 in K ist, sich eindeutig in die Gestalt bringen lässt 



£ = T;«! . . . 9?> (h^, U„ . . . U„., ^ 0, 1, . . . l- 1). 



Wendet man dies auf die Einheiten y], (i ^ v* + 1, . . . m') an, so ergiebt sich : 



wo I*" eine Einheit aus k ist und die Exponenten bestimmte Werte 0, 1, ... l — l 

 haben. Daraus folgt, dass die m — v* Ausdrücke : 



(1) ij; — h,h;"'". . . J?;:'"* (!"')"' 



Einheiten in K mit der Relativnorm 1 sind und dass man deshalb nach Satz 

 90 in A. Z. S. 272 



(2) H! =- Mf-^' 



setzen kann, wo M^ eine ganze Zahl aus K bedeutet. Die Ideale und 

 (M) = (v/fÄ) sind dann mit ihren relativ conjugierten Idealen identisch und 



