■ÜBER DAS RECIPROCITÄTSGESETZ DtU />™ POTENZRESTE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPERN. 23 



a* < t + V* - m' - 1. 



In dem ausgenommenen Falle, dass fi das Produkt einer Einheit e und der ü*«" 

 Potenz einer Zahl aus Je ist, erhält man durch Vermittelung der Einheit \/J 

 eine Relation von der Art (3). Es ergeben sich dann genau wie vorher 

 m' — v*-Jrl unabhängige Relationen zwischen den Idealen S) und für a* dem- 

 nach dieselbe Ungleichung. 



Wir dehnen jetzt unser Resultat auf beliebige ambige Complexe des Kör- 

 pers K aus durch Beweis des folgenden Satzes: 



Satz 2 0. Ist die Anzahl aller ambigen Ideale des Körpers K gleich l' 

 und machen die Einheiten in l , welche Relativnormen von Einheiten oder ge- 

 brochenen Zahlen in K sind, zusammen l" Einheitenverbände aus, so gilt, wenn 

 wir die Anzahl aller ambigen Complexe in E mit t bezeichnen: 



a < t + V — m' — 1 = _^^_(^_ — 



Beweis: Behalten wir die Bezeichnungen des vorigen Satzes bei, so tre- 

 ten zu den v* Einheiten iq^, . . . iq;^ noch w — t* Einheiten . . . hinzu, 

 die Relativnormen von gebrochenen Zahlen in K sind : 



= ^U0J • • • = N,{&.:^*), 



so dass jede Einheit e in 1:, die Relativnorm einer ganzen oder gebrochenen 

 Zahl in K ist, eindeutig in die Form 



^ = ■ ■ ■ riS ■ 'K^ ■ ■ ■ ^ 



gebracht werden kann, wo die Exqonenten e^, • • • /"i, • ■ • /;_„* gewisse 

 "Werte 0, 1, • • • ? — 1 haben und § eine Einheit aus It bedeutet, wenn wir über 

 zunächst dieselbe Voraussetzung wie im vorigen Satze machen. "Wir 

 setzen nun : 



&^ = . ^'If . . . %y (i = 1,2, . . . v-v*) 



wo ... von einander verschiedene Primideale in K bedeuten, von denen 

 ausserdem keine 2 zu einander relativ conjugiert sein sollen, und wo die Funk- 

 tionen G.^ (S) . . . G.^^ (S) ganzzahlige Funktionen vom {l — 1*^°) Grade in S sind. 



Da die Relativnorm von @ eine Einheit in Jt ist, so folgt, dass alle Funk- 

 tionen G (S) durch (1 — S) teilbar sein müssen. 



"Wir können dann setzen : 



wo St; ein Ideal ist, dessen "Wert leicht anzugeben ist. Dies Ideal bestimmt oflFenbar 

 eine ambige Classe und somit auch einen ambigen Complex Ä.. "Wir wollen nun zeigen, 



