ÜBEE DAS EECIPEOCITÄTSGESETZ DEE POTENZEESTE IN ÄLGEBEAISCHEN ZAHLKÖEPEEN. 25 



§ 6. 



Die Geschlechter im Körper K. 



Indem wir uns zunächst auf den Fall beschränken, dass die in der Relativ- 

 discriminante des Körpers K aufgehenden Primideale b^, . . . b, zu I relativ 

 pritn sind, gelangen wir in ganz entsprechender Weise, wie es von Hilbert 

 in § 17 der Rel. quadr. Z. ausgeführt ist , zu dem Begriffe des Charakteren- 

 systemes einer Zahl in k und eines Ideals in K und zu dem Begriff des Ge- 

 schlechtes einer Ideale! asse und eines Complexes in K. 



Wir wollen im folgenden eine obere Grenze für die Anzahl der möglichen 

 Geschlechter in K ableiten. Wir bezeichnen dabei die Anzahl der Charaktere 

 eines Geschlechts mit r und beweisen zunächst folgenden Satz: 



Satz 21. (Hülfssatz). Wenn t und v die frühere Bedeutung haben 

 und r die Anzahl der Charaktere eines Complexes in K ist, so gilt : 



t + V — rnJ < r. 



Beweis: Wenn fj, . . . s^* diejenigen r* — t — r Einheiten sind, die bei 

 der Definition des Geschlechtes eingeführt werden, für die also gilt : 



so beweist man leicht, dass die aus den Einheiten: 



entspringenden r* + v Einheitenverbände von einander unabhängig sind, wenn man 

 die vorstehenden Gleichungen beachtet und ausserdem bedenkt, dass ij^, . . . 

 rify ■O'i, ■ö'j, . . . rf,^* Relativnormen von ganzen oder gebrochenen Zahlen in K 

 sind. Da nun die Anzahl aller Einheitenverbände in K V' ist, so ist 

 r* + v m', also t + v — m' ^ r. 



Zieht man noch den Satz 20 heran und bedenkt, dass a nicht kleiner als Null 

 ist, so folgt r > t + v — m' > l. 



Abhdlgn. ä. K. Ges. d. Wiss. zu Göttingen. Matli.-phys. Kl. N. F. Band 2, 3. 4 



