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Das Charakterensystem eines Ideals enthält daher sicher immer einen 

 Charakter. 



Um eine obere Grenze für die Anzahl der Greschlechter in K zu finden, 

 ziehen wir die ambigen Complexe heran und beweisen folgenden Satz: 



Satz 22. Die Anzahl g der verschiedenen Geschlechter in K ist kleiner 

 oder höchstens gleich der Anzahl Ä der ambigen Complexe. 



Bezeichnet man mit f die Anzahl der Complexe des Hauptgeschlechts, so 

 ist die Gesamtzahl der Komplexe in K, welche wir M nennen , 



Für die Zahl M können wir noch einen zweiten Ausdruck finden, den wir auf 

 folgende Weise ableiten. 



Jede (1 — yS)*" symbolische Potenz eines Complexes gehört dem Hauptge- 

 schlecht an. Es seien nun 



Pv - P/> r ^ /■ 



diejenigen Complexe des Hauptgeschlechts , die symbolische (1 — Sf^ Potenzen 

 von Complexen sind. Wir setzen: 



= (?<'-^> . . . = G'}:''r. 



Ist dann P ein beliebiger Complex, so muss P""^' mit einem der hingeschrie- 

 benen f Complexe identisch sein; es sei etwa 



pa-.)_ also (PG^;7'-^' = 1. 



Der Complex PG~^ hat daher die Eigenschaft, dass seine symbolische (1 — /S)*^ 

 Potenz den Hauptcomplex ergiebt und hieraus folgt, da Ä zu ^ relativ prim 

 ist, dass PG~^ ein ambiger Complex A ist (A. Z. S. 468). Es ist also 



P ^ A . G^. 



Der Ausdruck A G^ stellt deshalb, wenn A alle ambigen Complexe und G^ aUe 

 Complexe G^, . . . Gy durchläuft, alle Complexe in K dar und jeden auch nur 

 einmal. Wäre nämlich 



AG^= A'G^', und v 4= v', so wäre 



G^ = AA'-'G^, folglich P„- = p:, was nicht möglich, 



wenn v ^ v' . 



Es besteht daher die Gleichung : 



M = A ■ f. 



Da nun /' < /', muss A > g sein. 



