28 PH. FURTWÄNGLEK, 



Die letzte Gleicliung ergiebt sich leicht mit Hülfe der Congruenz 

 hh' = 1 (l). 



§8. 



Ein System von g — nichtprimären Primidealen in k. 



Es sei «1, . . . £,„'_! ein volles System von G-rundeinheiten für den Kör- 

 m — 1) 



per h, wobei ni' — — ^ — Ferner sei s^. eine in Ic liegende Einbeitswurzel, 



deren Wurzel nicht in Je liegt. Das System der Einheiten s^, e,, • • • hat 

 dann die Eigenschaft, dass sich jede Einheit e in ^ eindeutig in der Form 



£ = £^ . • • sy r 



darstellen lässt, wo die Exponenten e^. . . . e^. bestimmte Werte 0, 1, • • • l — l 

 haben und | eine Einheit aus ä bedeutet. 



Die aus den Einheiten e^, . . . hervorgehenden Verbände sind von ein- 

 ander unabhängig, so dass im ganzen l'""' verschiedene Einheitenverbände in k 

 existieren. 



Wir wollen nun zwei Sätze beweisen, deren Gültigkeit wesentlich durch 

 die Annahme bedingt ist, dass die Classenzahl h des Körpers k nicht durch l 

 teilbar ist. 



Satz 24. Die Eelativdiscriminante des Körpers K(^fi,k) ist von 1 ver- 

 schieden. 



Aus Satz 19 folgt, dass 



t + v*—m' > 1 ist. 



Da nun v* < m' ist, muss ^ ^ 1, d. h. es giebt mindestens ein in der Eelativ- 

 discriminante von K aufgehendes Primideal. 



Satz 25. Ist die Einheit s in k der P^"" Potenz einer ganzen Zahl in k nach 

 V congruent, so ist s die P'^ Potenz einer Einheit in k. 



Zum Beweise wende man auf den Körper K{\/s, k) den vorigen Satz an. 



Um die Eigenschaften der primären Ideale zu erkennen, ist es wichtig, ein 

 gewisses System von m nichtprimären Primidealen mit vorgeschriebenen Po- 

 tenzcharakteren zu betrachten, dessen Existenz aus dem folgenden Satze folgt: 



Satz 2 6. (Hülfssatz). Es seien a^, . . . irgend s ganze Zahlen des 

 Körpers k, welche die Bedingung erfüllen, dass das Produkt 



• • • «? , 



wenn man jeden der Exponenten in^, • • • die Werte 0, 1, • • • Z — 1 durch- 



