ÜBER DAS EECIPROCITÄTSGESETZ DER I^^^ POTENZEESTE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPERN. 29 



laufen lässt, jedoch das Wertsystem = = ■ ■ ■ = 0 ausschliesst, 

 niemals die Potenz einer Zahl in Je wird ; es seien ferner y^, y^, . . . y^ nach 

 Belieben vorgeschriebene Z*" Einheits wurzeln : dann giebt es im Körper /.■ stets 

 unendlich viele Primideale p, für die jedesmal bei einem gewissen zu l primen 

 Exponenten m ; 



wird. 



Bezüglich des Beweises dieses Satzes verweise ich auf Hilbert, A. Z. 

 Satz 152 S. 426, wo der analoge Satz für den Kreiskörper /v(C) bewiesen ist. 

 Da der Beweis indessen gar keine speciellen Eigenschaften des Körpers Jc{^) 

 benutzt und die zwischen einem Kummer'schen Körper und dem Körper 7ü(^) 

 geltenden Beziehungen im ersten Teil dieser Entwickelungen für einen belie- 

 bigen Oberkörper Je des Kreiskörpers J: {^) und einen relativ - cyclischen Ober- 

 körper des Körpers Ji vom Primzahlrelativgrade I als gültig nachgewiesen sind, 

 so gilt der Beweis ohne weiteres auch in unserem Ealle. 



Mit Benutzung des vorstehenden Satzes können wir jetzt das erwähnte 

 System von m' nichtprimären Primidealen definieren und folgenden Satz von 

 ihm beweisen : 



Satz 2 7. Ist fj, £„,... das definierte System von Einheiten in h und 

 sind q^, . . . q„, zu I prime Primideale in Je , welche die Bedingungen be- 

 friedigen : 



setzt man ferner: 



wo x^, . . . >c^- ganze Zahlen in Je bedeuten, so gilt für jede zu I prime Zahl 

 ra in eine Congruenz : 



ö = £fi . • • . . . . xy a^(IO, 



worin die Exponenten u^, . . . ti^,, v^, ... v^. gewisse Werte 0, 1 • • • l — l 

 haben und « eine geeignete ganze Zahl aus /" ist. 



Beweis. Wir weisen zunächst nach, dass eine Zahl 



nie der Z*^° Potenz einer ganzen Zahl aus Je nach congruent sein kann. Wäre 

 dies nämlich der Fall, so würde der Körper K{\/(i, Je) eine zu I relativ prime 



