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PH. PURTWÄNGLEE, 



Relativdiscriminante besitzen, die nur durch diejenigen unter den Primidealen 

 . . . q,„, teilbar wäre, für die der zugehörige Exponent v ungleich Null ist. 

 Es seien dies die Primideale q„ q^, . . . q^. Für jede Einheit s in k, die 

 Relativnorm einer Einheit in K ist, gilt nun 



stellen wir dann s in der Form dar: 



= 1 (/ = 1, 2, . . . t). 



SO folgt aus den über die Primideale q gemachten Voraussetzungen: 



Hieraus folgt 



= ■ ■ • = ^« = 0, das heisst, 



£ muss das Produkt aus Potenzen von m' — t Einheiten in die Potenz einer 

 Einheit in 1; sein. Sämmtliche Einheiten in /c, die ßelativnormen von Ein- 

 heiten in K sind, würden demnach höchstens Z"''"* Einheitenverbände ausmachen. 

 Es müsste demnach, wenn wir die früher angewandten Bezeichnungen beibe- 

 halten , -u* < m' — ^ oder t -\- v* — m' < 0 sein , was als unmöglich nachge- 

 wiesen ist. Deshalb kann die Zahl fi nicht der Potenz einer Zahl in k 

 congruent sein. 



Es sei nun «j, a^, ... ein volles System von (p (() nach I incongruenten zu 

 I primen Zahlen in h. Der Ausdruck : 



v-Lj fji . . . £,/ x"^ . . . a. 



stellt dann, wenn die Zahlen u^, . . . u^, v^, . . . alle Werte 0,1 ... Z — 1 

 und * die Werte 1, 2, ... f durchläuft F"''(p{i) Zahlen dar, welche, wie wir 

 zeigen wollen, nach V incongruent sind. 



Wären zwei von ihnen einander congruent, etwa 



ej-'xj'i . . . jcZr'cc, = . . . £j''. <i . . . (l), 



so würde zunächst aus den zu Anfang dieses Beweises gemachten Ausführungen 

 folgen, dass 



= u[, . . . U^^, = , = v(, . . . t>,„, = vl^, 



sein müsste, also auch 



< = < (0- 



Ist nun ein in t zur Potenz aufgehendes Primideal, so würde aus der 

 letzten Congruenz folgen: 



