ÜBER DAS EECrPEOCITÄTSGESETZ DER POTENZEESTE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLEÖRPERN. 31 



nK-r«J = 0{l\'^) (a = 0, 1, 2 . . . 



{«) 



Es muss dann sicher auch die Congruenz bestehen: 



a.- g"«» = 0 (Iji). Da nun 

 ~ r «)fc = ~ d'^ ) > würde folgen 

 ^ (^^). 



Da man diesen Schluss für jeden Primfaktor von l ausführen könnte, so müsste 

 schliesslich : 



a. = (I) 



sein, dies widerspricht aber unserer Annahme. Alle V^' (p (1) Zahlen des Systems 

 (1) sind also nach F einander incongruent. "Weil nun 



(pi\!) = P'XO ist, 



so bildet das System (1) ein volles System nach f incongruenter, zu I primer 

 Zahlen in Je, was mit unserer Behauptung identisch ist. 



§ 9- 



Die unendliche Reihe 



(to) (»!) 



a ) ' nCmy ' 



Satz 28. Ist a ein bestimmtes primäres Ideal in k, so stellt die über 

 sämmtliche zu a primen Primideale tn des Körpers k und über ')n = 1, 2, ■•• Z-1 

 zu erstreckende unendliche Summe: 



(tt) («0 



eine solche Funktion der reellen Veränderlichen s dar, die stets unterhalb 

 einer positiven endlichen Grrenze bleibt, wenn die reelle Veränderliche s sich 

 der Grrenze 1 nähert. 



Beweis: Zu einem vollen System nach a incongruenter zu a primer Zahlen 



in h gehören cp (a) Zahlen und unter diesen giebt es genau Zahlen ß, für die 



das Symbol ^-^j den gleichen Wert hat, wie man leicht erkennt, wenn man sich 

 a in Primfaktoren zerlegt denkt. Es sei nun C eine beliebige Idealclasse in Je und 

 b ein zu a primes Ideal der Classe C"'^ ; ferner sei q, q', q" ... ein System von — 

 nach a incongruenten Zahlen, die sämmtlich durch b teilbar und zu a prim 



