ÜBER DAS EECrPEOCITÄTSGESETZ DER POTENZRESTE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPERN. 33 



Man erkennt hieraus , dass das zweite Glied der rechten Seite eine Funktion 

 von s darstellt, die für 5 = 1 gegen einen endlichen Grrenzwert convergiert. 

 Bildet man nun die letzte Grleichung für « = 0, 1, 2, ... ^ — 1 und addiert die 

 entstehenden l Grieichungen , so geben die ersten Grlieder rechter Hand die 

 Summe 0, da 2 — 0 gs folgt daraus, dass 



21 — )■ — TtÄT ei^^ Funktion von s ist, die 

 \ a / n {hy 



für s = 1 gegen einen endlichen Grenzwert convergiert. 



Setzen wir jetzt f) = bj, so ist j ein zu a primes Ideal der Classe C und 

 es ergiebt sich aus der Gleichung: 



dass die über alle zu a primen Ideale j der Classe C erstreckte Summe 



eine Funktion von s ist, die für s = 1 gegen einen endlichen Grenzwert con- 

 vergiert. Dasselbe gilt dann auch, wie sofort ersichtlich, von der Summe: 



Bildet man die letzte Summe für alle h Idealclassen in h und addiert die h 

 entstehenden Summen, so folgt, dass die über alle zu a primen Ideale j des 

 Körpers k zu erstreckende Summe : 



SSf^T" • (s > 1) (m = 1, 2, . . . l-l) 



für s = 1 gegen einen endlichen Grenzwert convergiert. 

 Da anderseits die Gleichung besteht: 



1 S (1)"" ■ - 2 S (^)'V(W + > 



wo die Summe 2 ^^^^^ ^^^^ primen Primideale in h zu erstrecken ist und 



(ro) 



f{s) eine Funktion darstellt, die für s = 1 gegen einen endlichen Grenzwert 

 convergiert, so muss 



/ tu N"' 1 



(w) (»«) \ a / 



Abhdlgn. a. K. Gos. d. Wiss. zu Göttingen. Math.-pbys. Kl. N. F. Band 2,3. 5 



