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PH. FUETWÄNCtLER, 



für s = 1 entweder gegen einen endlichen Grenzwert convergieren oder ne- 

 gativ über alle Grenzen wachsen. 



§ 10. 



Eine Eigenschaft der primären Primideale. 



Mit Hülfe der Entwickelungen des letzten Paragraphen gelangen wir zu 

 folgenden Sätzen : 



Satz 2 9. Ist p ein primäres Primideal in Je, so kann man stets in h 

 eine ganze Zahl tc finden, so dass (tc) = ;p''''', und eine Congruenz von der 

 Gestalt : 



JE = |3' (!') 



besteht, wo ß eine geeignete ganze Zahl in Tc bedeutet. 



Beweis: Es sei q^, q^, . . . q„^' das in § 8 definierte System von nicht- 

 primären Primidealen. Setzen wir dann: 



P''' = (^*) qf' = (^D • ■ • (&' = M , 



wo jc*, . . . K^, ganze Zahlen aus k bedeuten, so können wir aus Satz 27 

 die Gültigkeit einer Congruenz : 



7t* = £}Cj 1 . . . zy y' (V) 



folgern, wo s eine Einheit und y eine ganze Zahl aus h bedeutet. Wären hier 

 die Exponenten . . . v^' sämmtlich Null, so wäre bereits 7t* s'"^ eine Zahl 

 mit der verlangten Eigenschaft. Wir nehmen deshalb an, es seien eine Anzahl 

 der Exponenten v, etwa e, von Null verschieden. Wir bilden jetzt die Zahl: 



ft = 3r*(£<i . . . xi^y-' 



und betrachten den Körper K{\/^, k). Für diesen ist oifenbar 



t = e -\- 1, r* = e, r = 1. 



Es existiert also in K nur ein Geschlecht, das Hauptgeschlecht. 



Bestimmen wir jetzt ein Primideal r in h so, dass = 1, so wird r in 



K zerlegbar und jeder Primfaktor von r muss zum Hauptgeschlecht gehören. 

 Wenn wir deshalb r'* = (q) setzen und mit | eine geeignete Einheit aus Je 

 bezeichnen, so muss 



{f)=l, folglich = (1) 1 .ei.. 



