ÜBER DAS EECIPEOCITÄTSGESETZ DEE P^^ POTENZEESTE IN ALGEBEAISCHEN ZAHLKÖEPEEN. 35 



Wir wählen jetzt ein zweites System von ni' nichtprimären Primidealen 

 fli' ^2) • • • ) yom ersten verschieden ist und die Eigenschaft hat, dass 



1 



(Je + 0. 



Für dieses führen wir dieselben Entwickelungen durch wie im ersten Falle und 

 gelangen so zu einer Congruenz für 7t*, in der entweder sämmtliche Exponenten 

 verschwinden — in diesem Falle ist unser Satz bewiesen — oder eine Anzahl 

 von Null verschieden ist. Wenn wir das letzte annehmen, so kommen wir 

 dadurch zu einer Zahl 



jx,' = \s' k[ k[ ... x'„' 



Betrachten wir dann den Körper -^(v^ft, A;), so schliessen wir wieder, dass, wenn 

 für ein Primideal r in h das Symbol (^-^^ = 1 ist, auch (^^j = 1 sein muss. 

 Bezeichnen wir jetzt alle Primideale, für die 



— ) =1, mit r. 



+ 1 



= 1, mit r 



>.(+) 



y ) = 1, mit r<- 



=^ 1, mit r'' 



Die Existenz der Prim- 

 ideale r^^,' ergiebt sich 

 aus Satz 26, wenn man 

 bedenkt, dass ft"/«."' nur 

 dann P" Potenz einer 

 ganzen Zahl aus wird, 

 wenn a und h durch l 

 teilbar sind. 



so ergiebt sich aus der bei Hilbert A. Z. in Satz 152 abgeleiteten Gleichung 

 (104) S. 428, dass 



^-^-^=-\log-^ +fM 



{s > 1) 



l-l , 



—7^ log 



(s > 1), 



wo f (s), (s)rFunktionen von s bedeuten, die stets zwischen endlichen Grrenzen 

 bleiben, wenn die reelle Veränderliche s sich der Grenze 1 nähert. 



Hieraus folgt, da die Primideale sämmtlich von den Primidealen r^,^. 

 verschieden sind und beide Arten zu den Primidealen r<+' gehören: 



(s > 1) 



5* 



