36 PH, rURTWÄN GLER, 



21-1 , 1 



( 



Es gilt ferner die bekannte Grleichang: 



(t'J^R) «(r'+')' ix^-^)n{t^-y ^ s-1 



wo /"(s) wieder eine Funktion bezeichnet, die zwischen endlichen Grenzen bleibt, 

 wenn s sich der Grenze 1 nähert. 



Aus den letzten beiden Gleichungen folgt: 



Da nun die linke Seite dieser Ungleichung den Wert 



/ r \ "' 1 



y; — 1 • —TT- hat , so steht dieselbe 



offenbar mit Satz 28 in "Widerspruch. Unsere Annahmen über die Exponenten 

 V und v' sind deshalb zu verwerfen und wir haben in der Zahl n*s~'^ eine Zahl 

 der gewünschten Art. 



Satz 30. Ist p ein Primideal aus h und kann man p'''' = (jt) setzen, sodass 

 3t der l^"'^ Potenz einer ganzen Zahl aus Je nach V congruent ist , so ist p ein 

 primäres Ideal. 



Beweis: Der Beweis ergiebt sich durch Betrachtung des Körpers -£^(\/3r, it). 

 Für diesen ist ^ = 1 , also a* ^ v* — m'. 



Da a* mindestens Null und tJ* höchstens gleich m' ist, muss a* ==0, v* — m' 

 sein, womit unser Satz bewiesen ist. 



§ 11. 



Zwei specielle Fälle des Reciprocitätsgesetzes. 



Definition 7. Ist (i eine ganze Zahl aus die der Potenz einer 

 ganzen Zahl nach I' congruent ist, so soll (i eine primäre Zahl heissen. Ist p 

 ein primäres Primideal aus h und tc eine primäre Zahl, so dass {tc) = p'"'", so 

 soll Jt eine Primärzahl des Primideals p heissen. 7t ist bis auf die Potenz 

 einer Einheit bestimmt. 



Satz 31. Sind p und p^ zwei primäre Primideale mit den Primärzahlen 



jt und Äj, so folgt aus = 1 immer = 1 und umgekehrt. 



