■ÜBEE DAS RECIPROCITÄTSGESETZ DEE Z*®" POTENZRESTE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPEEN. 37 



Beweis: Ist ^-^j — 1, so ;wird das Primideal pj im Körper Kisjit^k), 



der nur ein Geschlecht besitzt, zerlegbar. Ein Primfaktor desselben hat 

 dann den Charakter 



Entsprechendes gilt umgekehrt. 



Satz 32. Ist p ein primäres Primideal in Ic mit der Primärzahl n und r 

 ein beliebiges Primideal und (q) = i''"', so ist 



1) wenn ^yj = 1, auch = 1 



2) wenn (y) + 1' ^uch (|-) + 1. 



Beweis: Der Beweis der ersten Behauptung ergiebt sich in entspre- 

 chender Weise wie bei dem vorhergehenden Satz. Um den zweiten Teil des 

 Satzes zu beweisen , bestimme man ein primäres Primideal mit der Primär- 

 zahl derart, dass 4" 1 ^n»! (^) ^ ^' ^^''^^ folgt aus dem ersten 



Teil dieses Satzes, dass auch =f= 1 "iid class man infolgedessen einen 



Exponenten e bestimmen kann, so dass 



= 1. 



r 



Wir betrachten den Körper K{\J%7t{,'k) , für den r = 2. Es existieren also 

 höchstens l Greschlechter und auch sicher l Greschlechter in K. 



Denn p wird in K zerlegbar und ein Primfaktor ^ von p hat die 

 Charaktere 



7t, 7t 7t^\ ( Tt. 



VI \ Px / \Pi 



die offenbar beide von 1 verschieden sind. ^ gehört deshalb nicht zum Haupt- 

 geschlecht und die Ideale 



% ^^ . . . 



definieren deshalb l verschiedene Geschlechter in K. Bezeichnet nun n eine 

 solche zu l prime Zahl, dass 



