"ÜBER DAS EECnPROCITÄTSGESETZ DER POTENZRESTE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLEÖRPERN. 39 



1) in bezug auf den Kreiskörper Ä ein relativ Gralois'scher sei, 



2) dass sein ßelativgrad m zu l prim sei. 



Ausserdem setzen wir voraus , dass die Klassenzahl des Körpers Z'(g) 

 ebenso wie die des Körpers h nicht durch l teilbar sei, dass also l eine regu- 

 läre Primzahl sei. 



Um das Reciprocitätsgesetz zwischen einem primären und einem beliebigen 

 Primideal in It zu beweisen, schicken wir zunächst einige Hülfssätze vorweg. 



Satz 34. (Hülfssatz). Ist a eine ganze Zahl und p ein Primideal aus l\ 

 so ist für einen beliebigen positiven Exponenten e : 



n(pVl 



Beweis: Ist = p\ wo = 1(Z), so gilt 



^ P'^-'^ _ (.-1)/ , .,(.-2)/ , . . ^/ , 1 - p m 



Folglich kann man 



n{\)')-l 



Ix + e setzen, 



wo X eine positive ganze rationale Zahl bedeutet. Es ist deshalb : 



Hieraus folgt : 



1 r «(w-iT'+' 



" L" ' J 



Wir haben im Folgenden das Symbol (— ) sowohl in bezug auf den Körper It 

 wie in bezug auf den Kreiskörper h{^) zu bilden. Wir unterscheiden deshalb 

 beide durch die Bezeichnung mit unterem Index : 

 {~)k Symbol in bezug auf den Körper l; 

 (— Symbol in bezug auf den Kreiskörper 

 Mit Anwendung dieser Bezeichnungsweise gilt der folgende Satz : 

 Satz 35. (Hülfssatz). Es sei r ein beliebiges Primideal des Körpers h 

 und r seine Relativnorm in bezug auf Ist ferner % eine beliebige ganze 



Zahl des Kreiskörpers /i (^), so gilt die Grleichung 



