ÜBER DAS EECIPEOCITÄTSGESETZ DER POTENZEESTE IN ALGEBEAISCHEN ZAHLKÖEPERN. 41 



^+1' -^ =1 = 2, 3, . .. 



wo § irgend eine P'^ Einheitswurzel bedeutet. 



Wir behaupten dann, dass r die verlangte Eigenschaft hat. 



Zum Beweise bezeichnen wir die E,elativnormen von p^, p„ r, jTj, jt^, q in 

 bezug auf 7c (g) mit p^, ^J^, r, :jt^^ tc^, q und finden dann aus (1) unter Be- 

 nutzung von Hölfssatz 85: 



wo die Exponenten und notwendig zu l prim sind, da wir vorausgesetzt 

 haben, dass der Relativgrad m von 7.; in bezug auf 7i (g) zu l prim sei. 



Bedenkt man nun, dass p^, r Potenzen von Primidealen in lt{l) sind 

 und dass r ein primäres Ideal und y eine primäre Zahl in Z (g), so folgt aus 

 dem in 7, (i;) zwischen einem beliebigen und einem primären Primideal gültigen 

 ßeciprocitätsgesetz, dass 



Pi Ur ^ r V p, . 



Ferner folgt wieder aus Hülfssatz 35, dass auch . 



Berücksichtigt man jetzt die aus (1) mit Hülfe von Satz 83 folgenden Rela- 

 tionen und beachtet ausserdem, dass stets 



r j, ~ \ Sx 



ist, wenn S eine beliebige Substitution bedeutet, die den Körper It in einen 

 relativ conjugierten überführt, so folgt : 



Damit ist die Richtigkeit unseres Satzes bewiesen. 



Mit Benutzung des letzten Hülfssatzes ist es uns jetzt möglich , den fol- 

 genden Satz zu beweisen : 



Satz 37. Ist p ein primäres Primideal in 7,; mit der Primärzahl tc und ist r 

 ein beliebiges Primideal in 7: und (p) == r''''', so ist: 



t) - [f 



Abhdlgn. d. K. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, ilath.-pliys. Kl. N. F. Band 2,3. 



