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PH. FURTWÄNGLEE, 



Beweis: Ist j = 1 > so gehen wir auf Satz 33 zurück. Wir setzen 

 daher jetzt voraus, dass 



sei, wo t, eine P Einheitswurzel bedeutet und bestimmen dann ein primäres 

 Primideal mit der Primärzahl tt^ so, dass 



was nach dem letzten Hülfssatz möglich ist, wenn und r nicht relativ con- 

 jugiert sind. Endlich wählen wir einen zu l primen Exponenten e so, dass 



3t ff ° \ ^ 



r / ~ 



wird und betrachten den Körper K{\l'jtTt\^'k). 



Dieser besitzt nach unseren Voraussetzungen über it und 7t^ genau l 

 verschiedene Geschlechter , und das Charakterenprodukt für jedes ist , da 



(^) (^) ~ ^^■'^^^^ gleich 1. Da v in zerlegbar ist, so besitzt ein 

 Primfaktor von r die Charaktere : 



deren Produkt 1 sein muss. Es ist also : 



PP'J \ r 



und hieraus folgt 



.PI Vr, 



Der ausgeschlossene Fall, dass r und p relativ conjugiert sind, erledigt 

 sich leicht mit Hülfe des Vorhergehenden. 



Wir können den eben bewiesenen Satz auf beliebige Unterkörper Tc^ von h 

 ausdehnen, die ebenfalls den Körper enthalten und eine nicht durch l teil- 

 bare Classenzahl besitzen. Wir brauchen dazu den folgenden Satz: 



Ist Q ein primäres Ideal in k und a eine primäre Zahl, so dass a''''' = (et) ; 

 ist ferner b ein beliebiges Ideal in k und fa''''' (/3), so gilt 



■ . . (^) = (" 



Wir gehen auf den Beweis dieses Satzes , um Wiederholungen zu ver- 

 meiden, an dieser Stelle nicht ein, da er später für jeden Körper k, für den 

 Satz 87 gilt, ausführlich bewiesen wird (vergl. § 16). Wir setzen ihn hier 

 vielmehr als bewiesen voraus und benutzen ihn zum Beweise des folgenden Satzes : 



