ÜBER DAS EECrPEOCITÄTSGESETZ DER POTENZRESTE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPERN. 43 



Satz 3 8. Ist 7tj ein beliebiger Unterkörper des im vorigen Satze be- 

 trachteten relativ Gralois'sclien Körpers h, der ebenfalls den Kreiskörper Ä(^) 

 enthält und dessen Klassenzahl zu l relativ prim ist , so gilt in ihm das 

 Reciprocitätsgesetz zwischen einem beliebigen und einem primären Primideal. 



Beweis: Es sei ^ ein primäres Primideal in \ mit der Primärzahl II 

 und 9ft ein beliebiges Primideal in h^, ferner 



gfi'-i''i = (P), wo h,h[ = l Q). 



Da n auch in eine primäre Zahl ist, so muss ^ ein primäres Ideal in Tt 

 sein (vergl. Satz 45 in § 16). Es gilt folglich in h nach dem eben ange- 

 führten Satze: 



(1) 



9t A U 



Es sei nun die Zerlegung von ^ und %\ in Ic die folgende: 



= Ti ■ • • • 



wo . . . Tj, . . . gleiche oder verschiedene Primideale in Ic be- 



deuten. Die Relativnorm von in bezug auf ist dann wo offenbar 

 e e' = m„ wenn den Relativgrad von h in bezug auf /Cj bezeichnet. 

 Wir können nun schliessen : 



¥). ^ 



In gleicher Weise schliessen wir: 



(3) ' — ' 



Dann folgt offenbar aus (1) (2) (3), da ^ 0 {l) 



