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PH. FURTWÄNGLKE, 



§ 13. 

 Fortsetzung. 



Den Fall, dass der im vorigen Paragraphen genannte relativ G-alois'sche 

 Korper h einen durch l teilbaren Relativgrad besitzt , werde ich nicht allge- 

 mein behandeln. Ich werde nur den Fall erledigen , dass der Relativgrad 

 desselben genau gleich l sei. Ich mache jetzt also folgende Annahmen: 



1) sei ein beliebiger Zahlkörper, für den das Reciprocitätsgesetz zwischen 

 einem beliebigen und einem primären Primideal bewiesen ist. Seine zu l prime 

 Klassenzahl sei h. 



2) sei ein relativcyclischer Oberkörper über Z\ vom Primzahlrelativgrade 

 l. Er möge definiert sein durch \//*, wo ft eine ganze Zahl aiTS l\ bezeichnet, 

 und möge ferner eine nicht durch l teilbare Klassenzahl H besitzen. 



Es ist die Aufgabe dieses Paragraphen , das Reciprocitätsgesetz zwischen 

 einem beliebigen und einem primären Primideal in abzuleiten. Zu diesem 

 Zweck beweisen wir zunächst folgenden Hülfssatz. 



H ü 1 f s s a t z 3 9. Es sei II eine beliebige ganze Zahl aus und it die 

 Relativnorm von II in bezug auf 1^^. Ferner sei q ein Primideal, das gleich- 

 zeitig in und \ liegt. 



Es gilt dann: 



n 



Beweis: Es sei die Norm von q, als Ideal von aufgefasst, q^, dann ist 

 die Norm von q, als Ideal von aufgefasst, g'^. Bezeichnet man die Relativ- 

 gruppe von in bezug auf Ii. mit 



S\ S\ . . . S'-\ S'= 1, 



so folgt aus 



das Bestehen der Congruenz: 



n ' = (SU) ' (q). 



Man erkennt nun leicht, dass folgende Grleichung gilt; 



2' 



