ÜBER DAS EECIPROCITÄTSGESETZ DER POTENZRESTE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖEPERN. 45 



"WO a eine ganze rationale Zahl bezeichnet. Es ist folglich auch ^—^ — eine 

 ganze Zahl und demnach gilt : 



IL = e(Sn) (q), 

 wenn ^ eine Z*^ Einheitswurzel bedeutet. Daraus folgt dann : 



n = r('S'n) (q). 



Bildet man die letzte Congruenz für i — 0, 1, 2, . . . . l — 1 und multipliciert 

 die so erhaltenen Congruenzen, so folgt: 



n ' = 7t (q). 



Es ist also 

 andererseits ist 



q Ai 



Wenn wir daher nachweisen können, dass 



7t = 7t ' (q), 



so ist unser Satz offenbar bewiesen. 

 Nun ist, wie oben angeführt : 



^-^2 = ~J (1 + ^«)' 



Folglich ergiebt sich : 



jr ' = jr = 3t ' • = 7t ' (q). 



Mit Hülfe des eben bewiesenen Satzes können wir jetzt die Richtigkeit des 

 folgenden Satzes erkennen. 



Satz 40: Ist ^ ein primäres Primideal in mit der Primärzahl II, so 

 dass (II) = ^sM'hk' , ferner 9? ein beliebiges Primideal in und 



