"ÖBEE DAS RECIPEOCITÄTSGESETZ DER Z*®" POTENZRESTE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPERN. 47 



stets ZU erfüllen Aus ("^) 4= 1 folgt , dass auch Primideal in 



\ r 1 ' 



ist. 



Wenn man dann = setzt, so folgt offenbar nach Fall 2, dass die 

 Bedingungen (1) erfüllt sind. "Wir haben nur noch zu zeigen, dass |), ein pri- 

 märes Primideal in ist. Bezeichnet -E eine beliebige Einheit aus und ist 

 s die ßelativnorm von E genommen in ],\, so ist nach Satz 39: 



^1 =f^) =1; 



es ist also ein primäres Primideal .in K^. 



"Wir haben damit den Beweis unseres Satzes vollständig erbracht. 



Die jetzt folgenden Entwickelungen setzen für den Grrundkörper Je keine 

 anderen Annahmen voraus , als die bereits in § 4 eingeführten. Wir machen 

 deshalb von jetzt ab in betreff des Grundkörpers Je folgende Annahme: 



1) Die Klassenzahl von Je ist nicht durch I teilbar. 



2) Für den Körper Je ist das ßeciprocitätsgesetz zwischen einem beliebigen 

 und einem primären Primideal bewiesen. 



§ 14. 



Die Anzahl der Geschlechter im relativ - cyclischen Körper K mit zu l 



primer Relativdiscriminante. 



Satz 41. Es sei die Relativdiscriminante des Körpers K{yl(i,Ji) zu l 

 prim und r die Anzahl der Charaktere , die ein Geschlecht in K bestimmen. 

 Sind dann Cj, t^, . . . irgendwelche P" Einheitswurzeln , deren Produkt 1 

 ist, so giebt es stets in K ein Geschlecht, dessen Charaktere mit c^, c^, ... 

 übereinstimmen. Die Anzahl aller verschiedenen Geschlechter ist also 



Beweis: Es seien , b2 , • . . b, die in der Relativdiscriminante von 

 K{\/^, Je) aufgehenden Primideale und 



Man kann dann nach unserer Annahme über K setzen: 



1) Man beachte, dass nach Hilbert, A. Z. Satz 94, S. 279 (i nicht das Produkt einer 

 Einheit mit der l^^^ Potenz einer ganzen Zahl aus k sein kann. 



