ÜBER DAS RECrPßOCITÄTSGESETZ DER POTENZRESTE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLEÖRPERN. 49 



pers K{\l^, Je) zu l prim ist und dass daher der im vorigen § bewiesene Satz 

 für K gilt. 



Wir unterscheiden nun beim Beweise drei Fälle , indem wir von vorn- 

 herein annehmen , dass v und fi keinen gemeinsamen Teiler haben , weil 

 wir die entgegengesetzte Annahme leicht auf die angegebene zurückführen 

 können : 



1) V ist die Primärzahl n eines primären Primideals in Je. 

 "Wir behalten die Bezeichnungen des vorigen § bei und setzen 



Es ist dann: 



n'(^) = n'(^)-n-(^)---n'(^).n'(^)- 



Da nun alle Einzelprodukte rechts, wie man leicht erkennt, den Wert 1 haben 

 ist auch: 



U\ tü ) 



2) V ist eine Einheit 7} aus 

 Man bestimme ein primäres Primideal ;p in Z; derart, dass 



^1 = 1 



p ist in Je zerlegbar. Ist Jt eine Primärzahl von p und ^ ein Primfaktor von 

 p in K, so ist das Charakterenprodukt von in E gleich 1, wo n + n' = 0(l) 

 seiB soll. 

 Da nun: 



(^)-(fr=©-(?r=(B(fr=^ .=..i,.-.v..o 



ist, so muss 



Folglich ist: 



TT'l ^'' = 1. Da anderseits nach FaU 1 



(i) \ tü ; 



(») 



Abhdlgn. d. K. Ges. d. Wiss. zu Göttingen. Matli.-phye. Kl. N. F. Band 2, 3. 7 



