ÜBEE DAS BECIPEOCITÄTSGESETZ DER POTENZEESTE IN ALGEBEAISCHEN ZAHLKÖEPEEN. 51 



ist und dass sicli v''''' immer als ein Produkt von solchen Zahlen darstellen 

 lässt, wie sie in den 3 Fällen betrachtet worden sind, so erkennt man die all- 

 gemeine Grültigkeit des zu beweisenden Satzes. 



Wir führen noch 2 Folgerungen des eben bewiesenen Satzes an: 

 Satz 43. Bedeuten v, (i, v*, \i* irgendwelche zu I prime ganze Zahl in k, 

 die den Congruenzen 



vv* = a', = ß' Q!) genügen , 



wo a und ß ganze Zahlen aus Je sind, und ist v zu ft, v* zu ^* relativprim, 

 so ist 



Bedeuten v, ft zwei zu einander und zu I prime ganze Zahlen in von denen 

 wenigstens eine der Z*^"^ Potenz einer ganzen Zahl in k nach V congruent ist, 

 so ist 



- - 



H I \ v 



- 1 . 



Beweis : Es ist 



folglich 



(R- ( tü ) ^ (If ( tü ) ■ ([f ( JD 



Die zweite Behauptung folgt unmittelbar aus dem zu Anfang des Paragraphen 

 aufgestellten Satz. 



§ 16. 



Das primäre Ideal. 



S a t z 4 4. Ist a ein primäres Ideal , so kann man stets in h eine ganze 

 Zahl a finden, so dass (a) = a*''' wird und überdies a der Potenz einer 

 ganzen Zahl in k nach I' congruent wird, a ist bis auf die Potenz einer 

 Einheit bestimmt; wir nennen a eine Primärzahl von a. 



Beweis: Es sei («*) = a'''*'. Haben dann qj, q,, ... q„., x^, h^, . . . n^, 

 die früher angegebene Bedeutung, so können wir die Congruenz hinschreiben: 



7* 



