■ÜBER DAS EECrPEOCITÄTSGESETZ DER Z'®" POTENZRESTE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPERN. 53 



Definition 9. Eine ganze Zahl ft in 1; soll eine hj^perprimäre Zahl 

 heissen, wenn sie zu I prim ist und der Potenz einer ganzen Zahl in k nach 

 dem Modul I^'^+i . . . congruent ist. 



Ueber die hyperprimären Zahlen in h können wir folgenden Satz be- 

 weisen : 



Satz 46. Ist eine hyperprimäre und v eine beliebige Zahl in /■•, so ist 

 das über alle zu I primen Primideale in Ic zu erstreckende Produkt 



(w) \ / 



Beweis: Es sei 



V = n ■ i;> l;^ • • • I'/ , 



wo n ein zu l primes Ideal und e^, e^, . . . ganze rationale Zahlen bedeuten. 



Die Ideale f„ . . . werden im Körper K{\J^, Je) sämmtlich zerlegbar ; 

 es sei S^, S,,, . . . je ein Primfaktor von 1^, Ig, • . . i, in K. Es sei 

 ferner A eine ganze Zahl aus K, so dass 



A 



. . . ü:- 



ein zu t primes Ideal wird. Die Relativnorm « von A hat dann die Grestalt: 



a — a I'i . . . I"^ , wo a ein zu I 



primes Ideal bedeutet , und es lässt sich deshalb — als ein Bruch — dar- 

 stellen, dessen Zähler und Nenner zu l prim ist. 

 Da nun: 



(VB) 



SO folgt 



(TO) \ / (W) \ nj / (W) V lü / (W) V 



§ 18. 



Ein gewisses System von m' + s zvi l primen Primidealen in k. 



Satz 4 7. Es mögen fj, . . . e^,, q^, . . . q^,, jCj, k^, . . . x^, die- 

 selbe Bedeutung wie in Satz 27 haben. 



Wir bestimmen dann 2 primäre Primideale |)„ p^, . . . mit den Primär- 

 zahlen jt^, 7c^, . . . Tt, SO, dass 



