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PH. PÜRTWÄNGLEE, 



{i, /c = 1, 2, . . . 0). 



"Wir behaupten dann, dass für jede zu I prime Zahl cj in ^ eine Congruenz von 

 der Gi-estalt gilt: 



03 = s';^ ... sy'x;^ ... «'(F/i+i . . . 



wo die Exponenten u^, u^, . . . u^., v^, . . . v^,, tv^, . . . w, gewisse Werte 

 0, 1, ... ^ — 1 haben und a eine geeignete ganze Zahl aus k bedeutet. 

 Beweis: Wir zeigen, dass eine Zahl 



= ■ f ? • • • K ' ■ ■ 



nicht der Potenz einer ganzen Zahl in A- nach l"'^"*"' . . . I^'^"*"^ con- 



gruent werden kann, wenn nicht sämmtliche Exponenten, die wir kleiner als l 

 annehmen, verschwinden. 



Angenommen , es gäbe eine solche Zahl fi. Wir betrachten dann den 

 Körper K{\Jii,'k), der eine zu I prime Relativdiscriminante hat, und schliessen 

 nach dem Beweise zu Satz 27, dass = . . . = = . . . = 0 sein 

 muss. In der Relativdiscriminante von K können dann nur die Primideale 

 p„ . . . vorkommen und zwar mögen 



P„ • • . 



in derselben aufgehen, wo ^ > 0 ist. Es giebt dann in K genau Gre- 

 schlechter, deren jedes das Charakterenprodukt 1 besitzt. 



Das Primideal Ij zerfällt in K und wir erhalten als Charaktere eines Prim- 

 faktors von ihm: 



m = (^r ■■•(¥) = (^r- 



Es müsste also : 



sein, was unmöglich ist, da 4^ 0 sein sollte. Es kann also eine Zahl 

 von der angegebenen Beschaffenheit nicht existieren, wenn nicht sämmtliche Ex- 

 ponenten u, V, w verschwinden. 



Wir setzen jetzt zur Abkürzung 



