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PH. FUETWÄNGLEH, 



Aus der ersten Congruenz ergiebt sich weiter: 



wo a einen der Werte 0, 1, 2, ... Z — 1 hat. Es muss folglich = sein. 

 Ebenso würde folgen \ — i'^, . . . = i[. Dies widerspricht aber der An- 

 nahme , dass die linke und rechte Seite in (2) verschieden sind. Es können 

 daher nicht 2 Zahlen des angegebenen Systems nach ifi"*"^ . . . l"""*"' congruent 

 sein. Anderseits giebt es nach dem genannten Modul genau P""' . Isl^ . . . . 

 zvL t prime und einander incongruente Zahlen. Mithin ist unser Satz bewiesen. 



§ 19. 



Das liy perprimäre Ideal in k. 



Satz 48. Ist a ein hyperprimäres Ideal in k , so lässt sich stets eine 

 hyperprimäre Zahl « in Je bestimmen, so dass 



a""' = (a) wird. 



Beweis: Es sei a'*' = (a*), dann kann man setzen : 



es ist also 



eine ganze Zahl in Ä-, die der Potenz einer ganzen Zahl nach l"!"*"^ • • • ^"^"^^ 

 congruent ist. Folglich ist nach Satz 46: 



[ ,rft^) = i-..n'(^) = i 



(iB) V / (hl) \ tt? 



Aus diesen Gleichungen folgt leicht : 



^1 = ^2 = • ■ • '^m, = 0 = tV^ = • ■ ■ We = 0. 



Es ist demnach eine hyperprimäre Zahl der gewünschten Art. 



