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Dann ist aber nach Satz 42 



Aus der vorstehenden Definition folgen für das definierte Symbol die Rechen- 

 regeln : 



(^) = (t^) ■ (^) 



h^) = (^)(¥)- 



§ 21. 



Zwei Hülfssätze über die Normenreste des Körpers K nach I,-. 



Satz 5 0. (Hülfssatz). Sind v,v\ (i, ^' beliebige zu l prime ganze Zahlen 

 aus k und ist 



a) V = v' (t'/i"""^), wo a eine ganze Zahl aus k und Ij ein Primideal be- 

 deutet, das in I genau zur ZJ'"' Potenz aufgeht, so sind v und v' gleichzeitig 

 Normenreste oder Normennichtreste des Körpers K{\l (i, It) nach Ij . 



b) Ist ft = ft'/3' wo ß wieder eine ganze Zahl aus h bedeutet, so 

 ist V gleichzeitig Normenrest oder Normennichtrest der Körper 



K{\l(i,k) und K'{\l^\li) nach Ij . 



Beweis: 



a) Ist V Normenrest von K(\/n, h) nach I,, also 

 so ist 



v' = N,{Äa) 



wenn 



««' = 1 (1'/^+') 



ist. 



Folglich ist auch v' Normenrest von K{\Jn,h) nach 1, . 

 Das Analoge gilt umgekehrt. 



b) Es sind zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem nämlich keine der 

 beiden Zahlen oder eine der beiden Zahlen ji und ju,' die V-^ Potenz einer ganzen 

 Zahl in h ist. Der dritte noch denkbare Fall, dass beide Zahlen ja und ^i' 



Potenzen von ganzen Zahlen in k sind, erledigt sich ofi'enbar sofort. 

 1) Keine der beiden Zahlen (i und fi' ist die P^ Potenz einer ganzen Zahl 



in k. 



