ÜBEE DAS EECEPEOCITÄTSGESETZ DER Z*®" POTENZEESTE IN ALGEBEAISCHEN ZAHLKÖEPEEN. 59 



Soll V Normenrest des Körpers Ki^Jn^Tt) nach I, sein, so muss eine 

 Congruenz : 



(1) - V = N + <^x\j[t + a^\jii' + ■ ■ ■ V^ft '-^ ^j,^ 



ßo 



bestellen, wo a^, a^, . . . ganze Zahl aus h und N eine ganze rationale 



Zahl, die grösser als ll^ + l ist, bezeichnet. Es sei nun genau durch 

 teilbar. Wir bestimmen dann, was stets möglich ist, eine ganze Zahl aus k, 

 so dass 



und bilden die Zahl: 



A - s, 



wo d zu Ij prim und durch teilbar sein soU. ^* ist dann, wie leicht zu 

 erkennen ist, eine ganze Zahl in K{\J^',lc). Bestimmen wir nun 6' so, dass 



dd' = 1 (If) 



wird, so ist 



NM''^') = ^ (IT), 



wie wir aus (1) schliessen, es ist also v auch Normenrest des Körpers K{\l'{i', Je) 

 nach l^. 



2) fi' ist die Potenz einer ganzen Zahl in k ; es ist dann (i der Potenz 

 einer ganzen Zahl in k nach I'/i^' congruent und es muss gezeigt werden, dass 

 unter dieser Voraussetzung jede ganze zu I, prime Zahl v Normenrest des Kör- 

 pers Kiyjii, k) nach \^ ist. 



Zum Beweise bestimmen wir eine Zahl ganze ft*, die nicht Potenz einer 

 Zahl aus k ist, derart, dass 



i^* = 1 . . . i:'.) 



wird. 



Ferner bestimmen wir ein Primideal p derart, dass : 



(tr=(^r---(tJHr 



wo n einen durch l nicht teilbaren Exponenten bedeutet. Wir haben dann, 

 wenn wir jt* = a setzen : 



8* 



