"DBER DAS EECIPEOCITÄTSGESETZ DEB POTENZRESTE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPERN. 61 



bann die Eelativdiscriroinante des Körpers K{\^jt, k) nur den Primfaktor p 

 enthalten. Es ist also t — 1 und daher nach Satz 19 : 



y* > m' — 1. 



Hieraus folgt v* = m', d. h. jede Einheit in h ist Relativnorm einer Ein- 

 heit in -K^(\/ä, h). 



Da auch v = m' sein muss, so ist die Anzahl aller ambigen Complexe in 

 K gleich 1 ; der einzige ambige Complex in K ist also der Hauptcomples. 



Diese Thatsache benutzen wir zum Beweise dafür, dass die Classenzahl des 

 Körpers K(^n, Je) nicht durch l teilbar ist. Wäre dies nämlich der Fall, so 

 müsste es (vergl. Hilbert, A. Z. Satz 57) ein Ideal S in ÄT geben, so dass 



wäre. 



Dieses Ideal könnte nicht dem Hauptcomplex angehören. Denn wäre ^ 

 wo ein Ideal aus k bedeutet, so müsste 1 sein und da ä ^ 0 (/) ist, 



müsste S 1 sein, was nicht möglich ist. 



Es sei nun C die Idealclasse in K, der :5 angehört, dann ist 



C r\j 1 C rs, 1. 



Wir setzen dann 



C C"' SC 



und behaupten, dass 



nicht dem Hauptcomplex angehören kann. Wenn nämlich C"~^' dem Haupt- 

 complexe angehörte , so müsste (vergl. Hilbert A. Z. S. 468) C eine ambige 

 Klasse sein, also selbst dem Hauptcomplexe angehören, was gegen unsere An- 

 nahme ist. Fahren wir jetzt fort und bilden: 



so könnten alle diese Klassen C"', . . . nicht dem Hauptcomplex ange- 

 hören, da G ihm nicht angehört. Andererseits ist aber sicher : 



Unsere Annahme, dass die Klassenzahl von K durch l teilbar sei, führt also zu 

 einem Widerspruch und ist deshalb zu verwerfen. 



