ÜBEE DAS EECIPROCITÄTSGESETZ DER POTENZRESTE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖEPERN. 65 



Der durch 9^ bestimmte Complex gehört also nicht zum Hauptgeschlecht. 

 Es sei nun f die Anzahl aller Complexe des Hauptgeschlechtes in K und /' die 

 Anzahl derjenigen Complexe in K, die symbolische (1— /S)**^ Potenzen von Com- 

 plexen sind. Wir erkennen dann genau wie früher die Richtigkeit der Gleichung 



Af = If 



(vergl. Satz 22). 



Aus A<1, folgt f<f. Andererseits ist f < da jede 

 Potenz eines Complexes notwendig zum Hauptgeschlecht gehört; deshalb muss 

 f — ti A = l, a = 1, V = m' sein, d. h. jeder Complex des Hauptge- 

 schlechtes in K ist symbolische (1 — S)*® Potenz eines Complexes in K und jede 

 Einheit in k ist Relativnorm einer Einheit oder gebrochenen Zahl in K. 



Um nun zu zeigen, dass x gleich der Relativnorm einer Zahl in K ist, 



bemerken wir , dass q in K zerlegbar ist. Da (^-^ =■ 1 , gehört jeder Prim- 

 faktor Q von q zum Hauptgeschlecht , und da jeder Complex des Hauptge- 

 schlechts symbolische (1 —S)'® Potenz eines Complexes ist, können wir setzen: 



O = 9'^-*' . A .\ 



wo S ein Ideal und A eine Zahl aus K und j ein Ideal aus Ii bedeutet. 



Bilden wir die Relativnorm von Q und erheben in die hh'n'^^ Potenz, so 

 wird, wenn wir 



i"'*' = iv) 



setzen : 



{n) = {Ayy , 



folglich |x = iV^ wenn l eine geeignete Einheit aus k ist. Da l die 



Relativnorm einer Zahl aus K ist, so folgt, dass auch n die Relativnorm einer 

 Zahl aus K ist. Um einzusehen, dass der Nenner der letzteren zu prim 

 gewählt werden kann , braucht man nur zu beachten , dass Ii in in Z gleiche 

 Faktoren zerfällt. 



Damit ist der zweite Fall vollständig erledigt. 



3) )() ist nicht primär. Es sei dann l eine Einheit aus h, so dass 4= 1; 



I ist dann sicher nicht die Relativnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl 

 aus K. Denn wäre 



« = <i) 



wo B und ganze Zahlen aus K bezeichnen, so können wir diese als re- 

 lativprim zu p annehmen. 

 Es wäre dann 



Abhdlgn. d. K. Ges. d. Wies, zn Göttingen. Math.-phys. Kl. N. P. Band 2, c. 9 



