ÜBER DAS RECIPEOCITÄTSGESETZ DER POTENZRESTE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPERN. 71 



Satz 58. Sind v, fi zwei beliebige ganze Zahlen aus k und ist = 1, 



so ist V Normenrest des Körpers k) nach Ij. 



Beweis: Es sei v durch die und (i durch die a'" Potenz von I, teilbar. 

 "Wir haben dann 2 Fälle zu unterscheiden, je nachdem a durch l teilbar ist oder 

 nicht. 



a 



1) a = 0 (l). Bedeutet dann Aj eine durch , aber durch keine höhere 

 Potenz von teilbare ganze Zahl aus h, so bestimme man fi* so, dass 



Dann ist 



folglich nach Voraussetzung 

 (2) 



Es soll jetzt gezeigt werden, dass der Exponent b stets incongruent Null 

 nach l ist, wenn I, im Körper K{\/ ju.*, k) unzerlegbar ist. "Wir nehmen letzteres 

 an und bestimmen das Primideal p so, dass für einen gewissen zu l primen Ex- 

 ponenten n : 



= 1. 



(fi4") ^ ' ' ' (ft4") 



Da Ij in K(\/^*, k) unzerlegbar ist, ist fi* der l^'^'^ Potenz einer ganzen Zahl 

 in k nach congruent und deshalb wegen (1) auch nach dem Modul I'. Dann 



ist aber ^-^j = 1 (^ = 1, 2, . . . m') und folglich p ein primäres Primideal. 



Bedeutet tc eine Primärzahl desselben, so folgt aus (3) und (4), dass ^*jt" eine 

 hyperprimäre Zahl ist. Folglich ergiebt sich aus (1), dass tc", also auch jc, der 

 ^ten Potenz einer ganzen Zahl nach . . . T z"^' congruent ist und nach Satz 13 

 sind deshalb alle Primideale i^, . . . l' im Körper K{^'jt, k) zerlegbar. Da 

 bereits früher gezeigt ist, dass alle Ideale eines Körpers K{\/3t,k) dem Haupt- 

 geschlecht angehören, so gilt: 



wenn 



