ÜBEE DAS EECEPROCITÄTSGESETZ DER POTENZEESTE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPERN. 75 



V Q 



so ergiebt sich, dass auch v Normenrest des Körpers K{\j ^i, k) nach 1^ ist. 



Satz 59. Sind v und fi zwei beliebige ganze Zahlen aus /• und ist v 

 Normenrest des Körpers K{\l fi, Ä) nach Ij, so ist: 



Beweis: Wir behalten die Bezeichnungen des vorigen Satzes bei und 

 bestimmen ft* so, dass : 



ft* = 1 . . . l'/'*') 



und dass (i* keine Potenz einer Zahl aus h wird. 



Dann ist v Normenrest des Körpers K(\l(i*, A) nach t^, I^, ... U Es giebt 

 daher ganze Zahlen . . . in K(\l{i*,]x), so dass 



V 

 V 



Wir schliessen hieraus auf die Existenz einer ganzen Zahl A in K, 

 so dass 



Wir können nun als einen Bruch — darstellen, dessen Zähler 



und Nenner ganze zu I prime Zahlen aus Je sind. 

 Es gilt dann die Congruenz : 



^ - Ni{A) - • • ■ K ) 



und hieraus folgt nach Satz 46: 



tD 



= 1. 



10" 



