ÜBER DAS EECIPEOCITÄTSGESETZ DEE Z*^" POTENZRESTE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPERN, 77 



Zum Schluss füge ich noch hinzu, dass der dem Satze 16 entsprechende 

 Satz über die Anzahl der Normenreste nach einem in i aufgehenden Primideale 

 ebenfalls gilt und dass man für einen beliebigen Körper K(\/^, k) eine Ein- 

 teilung der Ideale in Geschlechter entwickeln kann. Es gilt dann wieder die 

 fundamentale Thatsache , dass genau Z'^' Geschlechter , von denen jedes das 

 Charakterenprodukt 1 besitzt, in K existieren. 



Auf die Beweise dieser Behauptungen gehe ich nicht mehr ein, da die- 

 selben ganz analog den von Hilbert in ßel. quadr. Z. § 40—42 gegebenen 

 sind, und da die geringfügigen Abänderungen, die an denselben anzubringen 

 sind, sich zur Genüge aus den vorstehenden Entwickelungen ergeben. 



§ 27. 



Ein Beispiel. 



Zur Illustration unserer Entwickelungen mögen die cubischen Reste im 

 Körper ]>-{i, q) herangezogen werden, wo q eine von 1 verschiedene 3. Ein- 

 heitswurzel bedeutet. Der Körper gehört zu denjenigen , für die die Resultate 

 der vorstehenden Abhandlung gültig sind; er ist ein Galois'scher Körper vom 

 4. Grade und besitzt in bezug auf den Körper der dritten Einheitswurzeln den 

 Relativgrad 2. Seine Discriminante ist 144 und die Klassenzahl h = 1. Als 

 definierende Zahl für kann i + q angenommen werden , wofür die Glei- 

 chungen : 



x'^— 2qx — q = 0 



oder 



X* + 2x^ + 5x^ + 4:x+l = 0 



gelten. Gleichzeitig ist i + q eine von einer dritten Einheitswurzel verschie- 

 dene Einheit , die nicht dritte Potenz einer Einheit in Je ist. Es existieren in 

 Je 9 Einheitenverbände, welche durch : 



Q^'ii + qT u,v = 1, 2, 3 



dargestellt werden. 



Es gelten in Je folgende Zerlegungen in Primfaktoren: 



2 = (l_^) 



3 = -((,-97 



5 = (2 + 1) (2 - i) 

 7 = (3 -!-(,) (3 -f 

 11 = 11 



