■ÜBER DAS BECrPEOCITÄTSGESETZ DER POTENZRESTE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLEÖRPEEN. 79 



Die Zahlen 5 + 3p und 1 — 3p + 2i sind also primär. 



2) Satz 44 und 45 (Primäres Ideal). 



Die Ideale (2 + i) {2 + i + p) und (1 + if (3 + p) sind primär ; dem- 

 entsprechend gelten folgende Congruenzen : 



(2 + 0 (2 + i + ^p) = (i - q') {i - If (3 - 3p) 

 (1 + if (3p^ + 1) = (i - 1)" (3 - 3p). 



Die Zahlen p(i + p") {2 + i + /p) (2 + i) und (1 + /)' (3p' + 1) sind 

 folglich primär. 



3) Satz 48 und 49 (Hyperprimäres Ideal). 



Die Ideale 11(1 + 0» 7 + 2i und 71 sind hyperprimär; dementsprechend 

 gelten folgende Congruenzen ; 



11(1 + i) = (i - ly (9) 



(7 + 21) = {i - 2f (9) 

 71 ^ (-1)' (9). 



Die Zahlen 11(1 + i), 7 + 2t, 71 sind also hyperprimär. 



4) Satz 37. 



Von den beiden Primidealen 1 + i und 7 + 2i ist das letzte primär; 

 es muss demnach das Reciprocitätsgesetz zwischen einem beliebigen und einem 

 primären Primideal gelten, also 



1 + M ^7 + 2>\-' _ ^ 



7 + 2ij \1 + i 



sein, da 7 + 2i eine primäre Zahl ist. In der That findet man : 



,7 + 2i) \1 + ^ 



5) Satz 43. 



Da für 5 -f- 3p die Congruenz 



5 + 3p = 8 ((1-p)«) 



gilt, muss 



