ÜB. ORTHOGON., INVOLUTOR. ü. ORTHOG.-INVOLUT. SUBSTITUTIONEN. 9 



so erfüllen zunächst die Adjuncten j3 der Elemente b in der Deter- 

 minante B stets die Gleichungen (4), da diese aus den Gleichungen (5) 

 rückwärts erhalten werden können, indem man linke und rechte Seite 

 der unter (5) angeschriebenen Gleichung mit dem Producte ßxoßxa' mul- 

 tiplicirt und alsdann sowohl nach x wie nach X von 1 bis n summirt ; 

 die Gleichungen (4) kann man aber , da B der Voraussetzung gemäss 

 von Null verschieden ist, unmittelbar in die Form (3) bringen, und es 

 werden daher die auf Grund der Gleichungen (2) aus den n' gegebe- 

 nen Grössen b und n willkürlich gewählten zweiten Einheitswurzeln 

 £, . £2, zusammengesetzten Grössen a stets die Gleichungen (1) 



erfüllen, oder, was dasselbe, die Coefficienten einer orthogonalen Sub- 

 stitution bilden , für welche zugleich die Determinante A^^^ einen von 

 Null verschiedenen Werth besitzt. 



Die so gewonnenen Resultate lassen sich nun in den folgenden 

 Satz zusammenfassen: 



»ikZa/? erhält die Coefficientensysteme aller orthogonalen Substitutionen: 



^1 — S ^la^C) ^2 ~ S '^icl/d! ■ • ■ ■, = 2 ^naPa> 



0=1 0=1 0=1 



für welche die mit irgend n fest angenommenen zweiten Ein heits wurzeln 

 £j. £2- • • •■( £n gebildete Determinante A[t) einen von Null verschiedenen Werth 

 besitzt, und nur diese allein, auch jedes derselben nur einmal, wenn man 



W V = — 5po) (p, a = 1, 2, . . ., n) 



setzt, die dabei zur Bildung der Determinante B und der auf sie bezogenen 

 Adjuncten ß benutzten n^ Grössen b den Bedingungen: 



m .K = h2---- = Kn = h h: = -Ki, C^-^^'i;''';:::;;"') 



und der weiteren, dass ihre Determinante B eine7i von Null verschiedenen 

 Werth besitzt, unterwirft und alsdann an Stelle des Systems der ^n{n — 1) 



Grössen byr^, '-t < ]^ ~ ^' 2' ' ' ^ ^, ein jedes die Bedingung B=\=0 nicht 



verletzende System von i^n(n — 1) Werthen treten lässt. Auch erkennt man„ 

 Mathematische Glosse. XXXVJII. 1. B 



