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dass die Coefßcienten a der allgemeinsten derartigen Substitution , die auf 

 Grund der Gleichungen (21) , (33) sich durch die \n{n — 1 ) Grössen b-^i, 

 x<:X, ^ 1, 2, . . ., M 1^ rational ausdrücken lassen, nicht als analutische Func- 



' A = 2, . . ., M 



tionen von weniger als ^n{n — l) Parametern dargestellt werden können.n 



Sollen die Coefficienten a sämmtlich reell sein, so müssen auch 

 die zu ihrer Bildung benutzten Grössen h sämmtlich reell sein , und 

 es ist dann die Bedingung , dass die Determinante B einen von Null 

 verschiedenen Werth besitzt , immer von selbst erfüllt. Auch ergiebt 

 sich noch mit Rücksicht auf die Gleichung (8) des Art. 1 , da hier 

 jB' = ( — l)"i> ist, dass die Determinante A einer jeden durch die 

 Gleichungen (3t) darstellbaren orthogonalen Substitution den Werth 

 £i £2 . . . £„, der entweder mit oder mit — 1 zusammenfällt, hat. 



Das Coefficientensystem «pa, p,a = 1 , 2 , . . . , »i, einer orthogonalen 

 Substitution kann im günstigsten Falle auf 2"~^ verschiedene Weisen 

 den Gleichungen (51) entsprechend dargestellt werden, nämlich dann, 

 wenn von den überhaupt existirenden 2^ mit zweiten Einheitswurzeln e 

 gebildeten Determinanten A(z) diejenigen 2"~\ für welche £1 £3 ...£„ — A 

 ist, sämmtlich von Null verschieden sind. Dieser Fall bildet, wie aus 

 den Untersuchungen des Herrn Lipscmxz*) hervorgeht, die E,egel. Dass 

 es umgekehrt aber auch orthogonale Substitutionen giebt, deren Coeffi- 

 cientensystem nur auf eine einzige Weise den Gleichungen (21) ent- 

 sprechend dargestellt werden kann, zeigt die Substitution : 



für welche A(e) = (1 -|- £,) (1 + Sg) . . . (1 --]- £„) nur dann einen von Null 

 verschiedenen Werth besitzt, wenn £j = £3 = ... = £„ = 1 ist, und deren 

 Coefficientensystem daher nur auf eine einzige Weise den Gleichungen 

 (21) entsprechend dargestellt werden kann. 



Setzt man in den Formeln (21) Si = £3 = ••• = £„= 1, so erhält 

 man, unter Festhaltung der für die Grössen h gestellten Bedingungen, 



*) LiPSCH[TZ, R. , Untersuchungen über die Summen von Quadraten, pag. 94, 

 Gleichungen (17). Bonn, Cohen, 1886. 



