ÜB. ORTHOGON., INVOLUTOR. U. ORTHOG.-INVOLUT. SUBSTITUTIONEN. 11 



die von Herrn Cayley*") für die Coefficienten einer orthogonalen Sub- 

 stitution aufgestellten Formeln. Durch diese Formeln sind also, wie 

 schon Herr Kronecker**) bemerkt hat, nur die Coefficientensysteme sol- 

 cher orthogonaler Substitutionen darstellbar, bei denen die Determinante 

 A(z) für £, = Sa = ••• = £„= 1 einen von Null verschiedenen Werth besitzt. 



3. 



Es werde jetzt vorausgesetzt, dass die Grössen a die Coefficien- 

 ten einer involutorischen Substitution seien, oder, was dasselbe, dass 

 durch Zusammensetzung der beiden, nur durch die Bezeichnung der 

 Variabelen sich unterscheidenden Substitutionen: 



p—n p=w p=« 



^1 = 2 ^ip^p' -^'i ~ 2 ^IpVpi • • ■ •! = S ^np^p) 



p=l p=l p=l 



2/i = S «ia^a> 2/2 = S «2a^a> > «/« = 2 ««a^a) 



unter Elimination der Grössen i/, die Gleichungen : 



^1 = -^l ) ^2 ~ '^2 ' • • • • ' -^M ~ '^n 



hervorgehen. Die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen, denen 

 alsdann die Grössen a zu genügen haben, werden durch die Gleichungen : 



p=n 



(1) S «pa «a'p = K^' (o, a'=: 1, 2, . . n) 



dargestellt. Setzt man nun entsprechend den Gleichungen (6) des Art. 1, 

 indem man unter e^, £3, . . ., £„ n zweite Einheitswurzeln versteht, für 

 welche die Determinante ^(e) einen von Null verschiedenen Werth besitzt : 



(2) V = ^p(^— V) .(p,a = l,2,...,«) 



*) Cayley, A., Sur quelques proprietes des determinants gauches. Crelle's 

 Journal Bd. 32, pag. 120, Gleichungen (14). 



**) Kronecker, L., Ueber orthogonale Systeme. Sitzungsberichte der Berliner 

 Akademie der Wissenschaften, 1890, pag. 875. 



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