ÜB. ORTHOGON., INVOLUTOR. U. ORTHOG.-INVOLUT. SUBSTITUTIONEN. 15 



der den Werth -f- 1 besitzenden Grössen s die gleiche ist. Bezeichnet 

 man die erstere Anzahl mit m und entsprechend die letztere mit n — m, 

 woraus dann zugleich für die Determinante A der Substitution der 

 Werth ( — l)*" sich ergiebt, so kann man die Gleichung (6) durch die 

 beiden Gleichungen: 



(7) £j + £2+. ••+£„ = n — 2m, a^^ + a^^^-^ ■ ■ ■ -\- a^^ = n — 2ni 



ersetzen, und das oben aus der Gleichung (6) gewonnene Resultat lässt 

 sich dann auch so aussprechen, dass von den zu der gegebenen involuto- 

 rischen Substitution überhaupt existirenden, mit zweiten Einheitswurzeln 

 £ gebildeten 2" Determinanten A{t) jedenfalls alle diejenigen den Werth 

 Null besitzen, bei denen weniger oder mehr als m der Grössen e den 

 Werth — 1 haben, und dass daher die nicht verschwindenden Determinan- 

 ten ^(e) sämmtlich unter den bei denen m der Grössen e den Werth 

 — 1, die übrigen n — m den Werth +1 besitzen, enthalten sind*). Mit 

 Rücksicht darauf soll gesagt werden, dass die gegebene involutorische 

 Substitution zu der Zahl m gehöre, und es folgt dann weiter, da man 

 nach Früherem zu jedem Systeme Sg, . . ., e„ von zweiten Einheits- 

 wurzeln stets mit Hülfe der Gleichungen (5t) , (SS) eine involutorische 

 Substitution bestimmen kann, für welche die mit den gegebenen e gebil- 

 dete Determinante A[t) einen von Null verschiedenen Werth besitzt, 

 dass die sämmtlichen, überhaupt existirenden involutorischen Substitu- 

 tionen in w+l verschiedene, den Werthen m = 0, 1, 2, . . ., w bezieh- 

 ungsweise entsprechende Classen zerfallen. Mit Hülfe der zweiten 

 unter (7) angeschriebenen Gleichung kann man für jede gegebene invo- 

 lutorische Substitution die ganze Zahl m, zu der sie gehört, unmittel- 

 bar bestimmen. 



Das Goefficientensystem «p^, p,a = 1, 2, . . ., w, einer zur Zahl m ge- 

 hörigen involutorischen Substitution kann im günstigsten Falle auf 

 (^) verschiedene Weisen den Gleichungen (51) entsprechend dargestellt 



*) Cf. CoKNELY, A., Untersuchungen über involutorische Gleichungensysteme, 

 Art. 3. Inauguraldissertation, Würzburg, 1891. 



