ÜB. ORTHOGON., INVOLUTOR. U. ORTHOG.-INVOLUT. SUBSTITUTIONEN. 21 



man hier sowohl wie im ganzen weiteren Verlaufe der Arbeit unter 

 Zj, Xg, . . ., x„ irgend eine Permutation der Zahlen 1, 2, . . ., n versteht, 

 das Coefficientensystem ap,, p, a = 1, 2, . . ., n, der allgemeinsten zur Zahl 

 m gehörigen involutorischen Substitution , bei der die Determinante 

 Au\ für £-,=... = = — 1 = . . . = £^ =1 einen von Null 



verschiedenen Werth besitzt, in ähnlicher Weise dargestellt werden. 

 Diese allgemeinere Aufgabe lässt sich ohne Mühe lösen, wenn man sie 

 auf die soeben behandelte einfachere zurückführt. Zu dem Ende beachte 

 man zunächst, dass die zu Anfang des Art. 3 aufgestellten Gleichungen 

 (l), welche die noth wendigen und hinreichenden Bedingungen dafür 

 ausdrücken, dass die Grössen a die Coefficienten einer involutorischen 

 Substitution bilden, sich auch, wenn man die Zahlen p. a, a' durch die 

 Zahlen Xp, Xa, Xa' beziehungsweise ersetzt und die Gleichung 0-/5 = Oa^' 

 beachtet, in der Form: 



2 «Xp x<3 «-^5' = °aG' (a, o' = 1, 2, . . ., 



p=i 



schreiben lassen. Führt man alsdann neue Grössen dt^^^^ cp, tj; == 1, 2, . . ., w, 

 ein durch die Gleichungen : 



«!pj; = % -/^ > (cp, ^ = 1, 2, . . ., n) 



so erfüllen diese Grössen d die Bedingungen: 



S «pa<'p = 8aa' (a, a' == 1, 2, . . ., «) 



p=.i 



und bilden daher die Coefficienten einer involutorischen Substitution: 

 = 2 ^ 1 3 ^3 ) ^2 ~ 2 ^* 2a i/a 5 . . . . , ~ S • 



0=1 0=1 0=1 



Diese Substitution gehört, da an + «22H h^s«» = Xj+ ä^xg x^H 1~^*^„^-„ 



ist , zu derselben Zahl m wie die frühere , und es besitzt zugleich die 

 mit den d gebildete Determinante A[i) für — . . . = e^^^ = — 1 ^ 

 £^^1 = . . . = £^ = 1 einen von Null verschiedenen Werth, da sie aus der 

 Determinante Ä{t) , bei der e.^^ — . . . = = — 1 , = • • . = = 1 



