ÜB. ORTHOGON., INVOLUTOR. U. ORTHOG.-INVOLUT. SUBSTITUTIONEN. 25 



und es ist damit zunächst bewiesen, dass die oben definirten Grössen a 

 stets die Coefficienten einer involutorischen Substitution sind. Dass 

 diese involutorische Substitution auch stets zur Zahl m gehört , folgt 

 aus der Gleichung: 



X=l [J.= l v=l \x=l ' |J.= 1 v=l 



Damit ist die zu Anfang des Artikels gestellte Aufgabe gelöst, 

 und es lassen sich jetzt die gewonnenen Resultate in den folgenden 

 Satz zusammenfassen : 



y^Man erhält die Coefßcientensysteme aller zur Zahl m gehörigen invo- 

 lutorischen Substitutionen : 



a=n a=n (3=n 



^^1 = S ^ia2/a5 ^2 ~ 2 ^2a2/a> • • • •> — S ^mVcf 



a=i 0=1 0=1 



wenn man 



2 jA=m v=m 



(J!,= l V=I 



alsdann an Stelle der 2mn Grössen: 





^12 ' 



• 5 /iM > 



^11' 



Ö'i2 > • • 



• ' 9ln 



f ml ' 



i^«i2 ' 



f 



' ' ' «!» ' 



5'j/ll ' 



5'«i2 ' ' • 



' ' ^ mn 



aw5 sich die Grössen h den Gleichungen: 



T=n 



2/'(xx5'vr (ix,v = l,2,...,m) 



T=l 



gemäss zusammensetzen, während H die Determinante 2 ± Äu ... h„„„ , h^-^ die 

 Adjuncte des Elementes h^^ in der Determinante H bezeichnet — ein jedes 

 die Bedingung H 0 nicht verletzende System von 2m n Werthen treten 

 lässt. Will man von diesen Coefficientensystemen nur diejenigen erhalten, 

 hei denen — unter /j, X2, . . ., x„ irgend eine Permutation der Zahlen 1, 2, . . w 

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