ÜB. ORTHOGON., INVOLUTOR. U. ORTHOG.-INVOLUT. SUBSTITUTIONEN. 37 

 U-"-^^ ^ij^xv' r = 2^ . m' durch die Gleichungen : 



bestimmten Werthe beilegt. 



Zwischen den zur Zahl m und den zur Zahl n — m gehörigen in- 

 volutorischen Substitutionen besteht ein enger Zusammenhang, der hier 

 noch kurz erörtert werden soll. Sind nämlich «pa, p, a = 1, 2, . . ., n, die 

 Coefficienten einer zur Zahl m gehörigen involutorischen Substitution, 

 oder, was dasselbe, erfüllen die Grössen a die Gleichungen: 



2 V ^-^'P ' S«pp='^ — 2w, (o,a'= 1, 2, n) 



p=i p=i 



so genügen die durch die Gleichungen : 



^pa — <^pa 



definirten Grössen ä den Gleichungen: 



(p,a= 1, 2,...,n) 



p=n p=w 



2 «pa «a'p ^ ' 2 »pp = — 2 (w — m), (o, a'= 1,2,.. ., n) 



p=i P=i 



und bilden daher die Coefficienten einer zur Zahl w — m gehörigen in- 

 volutorischen Substitution; auch besitzt, wenn bei der ursprünglichen, 

 zur Zahl m gehörigen Substitution die mit den Coefficienten a derselben ge- 

 bildete Determinante Ai^) für s-, = . . . = s,, =—!,£./. , ^ = . . . = e.. = i 



^ ' 1 III »i-f-l '^n 



einen von Null verschiedenen Werth hat, bei der abgeleiteten, zur Zahl 

 n — m gehörigen Substitution die mit den Coefficienten ä derselben gebildete 

 Determinante A(i) für £-,—... = £.. = i , , = . . . = = — 1 einen 

 von Null verschiedenen Werth. Daraus folgt aber, dass man die Coeffi- 

 cientensysteme aller zur Zahl n — m gehörigen involutorischen Substitutio- 

 nen auch dadurch erhalten kann, dass man bei den Coefficientensystemen 

 der zur Zahl m gehörigen involutorischen Substitutionen einen jeden 



