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Coefficienten mit — 1 multiplicirt. Man kann daher, wenn es sich um 

 die Aufstellung- der zu den Zahlen 0, 1, . . ., n — ^1, n beziehungsweise 

 gehörigen Substitutionen handelt, mit Vortheil auch in der Weise ver- 

 fahren, da SS man auf Grund des am Schlüsse des vorigen Artikels aus- 

 gesprochenen Satzes zunächst nur diejenigen Substitutionen aufstellt, 

 welche zu den ganzen Zahlen, die nicht grösser als ^ sind, gehören, 

 und dann die übrigen , welche zu den ganzen Zahlen , die grösser als 

 ^ sind, gehören, aus diesen durch Multiplication ihrer Coefficienten mit 

 — 1 ableitet, üie Coefhcienten der auf diese Weise abgeleiteten Sub- 

 stitutionen treten dann natürlich in anderer Gestalt auf, als wenn man 

 sie auf Grund des am Schlüsse des vorigen Artikels ausgesprochenen 

 Satzes direct gewonnen hätte. 



8. 



Es sollen jetzt zum Schlüsse noch diejenigen Substitutionen betrach- 

 tet werden, welche zugleich orthogonal und involutorisch sind*). Sub- 

 stitutionen von dieser Art sollen orthogonal-involutorische Substitutionen 

 genannt werden. Die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen 

 dafür, dass die Substitution : 



a=w 5=« a=n 



^1 ~ S ^la2/a) •^2 ~ S '*2a?/a) • • • ^« ~ 2 '^nsVa 

 a=i 0=1 0=1 



eine orthogonal-involutorische ist, werden durch die Gleichungen: 



p=W p = M 



p=i p=i 



(a, a'= l, 2, ...,n) 



dargestellt, von denen die Gleichungen (l) die Substitution als eine 

 orthogonale, die Gleichungen (!') die Substitution als eine involuto- 



*) Cf. R. LiPSCH[Tz: „Beiträge zu der Theorie der gleichzeitigen Trans- 

 formation von zwei quadratischen oder biünearen Formen" und L. Kroneckeb : 

 „Ueber orthogonale Systeme" in den Sitzungsberichten der Berliner Akademie der 

 Wissenschaften, 1890, pag. 496 und pag. 525. 



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