ÜB. ORTHOGON., INVOLÜTOR. U. ORTHOG.-INVOLUT. SUBSTITUTIONEN. 39 



rische charakterisiren. Multiplicirt man, indem man unter p' eine Zahl 

 aus der Reihe 1, 2, . . ., w versteht, linke und rechte Seite der unter (1) 

 angeschriebenen Gleichung mit aap' und summirt alsdann nach a von 

 1 bis n, so erhält man, unter Beachtung der Gleichungen (1'): 



(l'O OpV = «ay- (P',<3'= l,2,...,n) 



Die Gleichungen (1") zeigen, dass eine orthogonal -in volutorische Sub- 

 stitution immer auch eine symmetrische ist. Beachtet man nun noch, 

 dass man mit Hülfe der Gleichungen (l") die Gleichungen (l) in die 

 Gleichungen (l') und umgekehrt die Gleichungen (!') in die Gleichungen 



(1) überführen kann, so erkennt man, dass eine orthogonal- involutori- 

 sche Substitution auch als eine symmetrische orthogonale, mit demselben 

 Rechte aber auch als eine symmetrische involutorische Substitution de- 

 finirt werden kann. 



Um die allgemeinsten Ausdrücke für die Coefficienten a einer 

 orthogonal- involutorischen Substitution zu erhalten, beachte man zu- 

 nächst, dass die Gleichungen : 



(2) V = ^p(^~V)' (p,a=l,2, ...,n) 



wie in Art. 3 und Art. 4 gezeigt wurde, die Coefficientensysteme aller zur 

 Zahl m gehörigen involutorischen Substitutionen, bei denen die Deter- 

 minante A[^) für = . . . = £.^^^^ = — 1 , = . . . = e^^= 1 einen von 

 Null verschiedenen Werth besitzt, liefern und nur diese allein, auch 

 jedes derselben nur einmal, wenn man darin: 



(3) K . - 3 für J' 2' • • •> - und für • 



j ^ f füi- ^'2, • • ^. i = —a für ^' ^' 



Xjj,-/,^ ' M-^v V = m -|- 1, . . ^^ ' ^-v^-fj. i^l-i'-tv v = m + 1, 



m 

 n 



m 



setzt und alsdann an Stelle der 2m(w — m) Grössen /Jj..^^, ^f^x^, ^ + 1 



ein jedes die Bedingung -B =j= 0 nicht verletzende System von 2'm{n — 'm) 

 Werthen treten lässt. Soll nun eine dieser involutorischen Substitutionen 



