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Über die Zuverlässigkeit der von mir aufgefundenen Unterschiede 

 geben die umstehenden, mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung be- 

 rechneten Tabellen der Grenzen, in denen die Durchschnittswerte anderer, 

 an gleichwertigem Materiale angestellter Untersuchungen sich bewegen 

 werden, Aufschluss. 1 ) Da sich keine Unterschiede zwischen früh- und spät- 

 kastrierten Wallachen gezeigt haben, so wurde aus diesem Grunde dieselben 

 in den folgenden Tabellen nicht mit angeführt. Auch wurde bei ihnen der 

 wahrscheinliche Fehler nicht berechnet. 



*) Da überall eine Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht vorausgesetzt 

 werden kann, so sei es mir gestattet, ohne näheres Eingehen auf die mathematische Be- 

 gründung der Formel usw., ihre Anwendung kurz zu erklären. 



Der Grundgedanke der Wahrscheinlichkeitslehre geht von der Tatsache aus, dass 

 der Durchschnittswert einer Zahlenreihe sehr stark durch einige abnorm niedrige oder 

 abnorm hohe Zahlen beeinflusst wird und zwar um so mehr, je kleiner die Zahlenreihe. 

 So wird man z. B. wenn man die Widerristhöhe von Pferden feststellt, oft bei einer 

 Messung an in der Abstammung usw. einander ähnlichem Materiale, bei mehreren Unter- 

 suchungen verschiedene Durchschnittszahlen erhalten. Diese Differenzen in den Durch- 

 schnittszahlen werden um so grösser sein, je grösser einmal die Unterschiede zwischen 

 den Einzelzahlen, aus denen das Mittel berechnet wurde, sind, und zum anderen, je kürzer 

 die Reihen selbst sind. Denn wenn z. B bei 100 Pferden 2 mit abnormen Mafsen in der 

 zu untersuchenden Rasse in der Regel vorkommen, so erhalte ich, wenn ich durch Zufall 

 bei einer Untersuchung von 10 Pferden schon 1 abnormes habe, eine grosse Abweichung 

 von der wirklichen Durchschnittszahl, dasselbe aber auch, falls kein abnormes darunter 

 ist; ich habe überhaupt erst bei 50 Tieren (in diesem gegebenen Falle) die Möglichkeit, 

 eine richtige Durchschnittszahl zu ermitteln. Habe ich aber bei einer Reihe von 500 Pferden 

 statt der 10 abnorm grossen Pferde, die ich haben müsste, vielleicht 11 oder 9, so wird 

 die Differenz vom wahren Mittel nur gering sein. 



Da nun aber das prozentische Vorkommen abnormer Zahlen bei irgend einer Unter- 

 suchungsreihe nicht bekannt ist, so haben Durchschnittszahlen, falls sie nicht aus sehr 

 grossem Materiale gewonnen sind, zu Vergleichen einen sehr geringen Wert. 



Die Wahrscheinlichkeitsrechnung bietet nun die Möglichkeit, die Grenzen, in denen 

 die Durchschnittszahlen sich bewegen werden, zu berechnen. Die Berechnung des wahr- 

 scheinlichen Fehlers geht von den Momenten aus, die, wie wir gesehen haben, 

 auf die Durchschnittszahlen von grösstem Einflüsse sind, von den Abweichungen der 

 Einzelzahlen vom Mittel und von der Anzahl der Einzelfälle, aus denen der Durchschnitt 



r wird um so grösser sein, je grösser e a 2 und je kleiner n ist. Mit anderen Worten, 

 die Grösse der Abweichungen und die Grösse der Untersuchungsreihe bestimmen die 

 Grösse des wahrscheinlichen Fehlers. Dieser ist sowohl positiv als negativ, d. h. er gibt 

 sowohl die Abweichung nach oben als auch die nach unten an. Der wahrscheinliche 

 Fehler gibt aber nur die Abweichung in einem einzelnen Fall an. Folgende Tabelle gibt 

 diejenige Zahl an, mit der man den wahrscheinlichen Fehler multiplizieren muss, um dann 

 durch Addition dieses Produktes mit negativen und positiven Vorzeichen zu dem Durch- 

 schnittswert, die Grenzen zu finden, in denen sich in einem bestimmten Prozentsatze der 

 Untersuchungen, die Durchschnittswerte der mathematischen Erwartung nachbewegen werden. 



gebildet wurde. Nach Gauss ist der wahrscheinliche Fehler (r) = 2 / 3 y 

 8 a 2 = Summe der Quadrate der Abweichungen vom Mittel, 

 n = Anzahl der Beobachtungen, 



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