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V. BOUNI AKOWSK Y, 
cette Géométrie dans une lettre à Schumacher^) (datée du 28 novembre 1846), déclare 
que l'auteur a traité la matière de main de maître et avec le véritable esprit géométrique; il 
ajoute que les résultats dans cette même doctrine auxquels, de son côté, il est parvenu 
depuis bien des années, et qu'il n'a pas publiés, sont conformes dans les traits principaux 
à ceux de M" Lobatschewsky , quoique l'exposition qu'il en avait projetée fût toute diffé- 
rente. 
Les premières idées sur la théorie des parallèles ont été exposées par M' Loba- 
ischewsky dans son Mémoire intitulé : Exposition succincte des principes de la Géométrie 
etc., dont il a fait la lecture devant la faculté Physico - mathématique de l'Université de 
Kazan le ^ février 1826. Plus tard, nommément en 1829 -— 1830, il a inséré dans le 
Journal de cette Université (Ка.эаескій Вѣстникъ), plusieurs articles sur les Éléments de la 
Géométrie (0 началахъ Геометріи) qui contiennent un exposé de cette nouvelle doctrine, 
élaborée avec encore plus de soin et de précision dans ses publications ultérieures. 
Pour l'intelligence de ceux de nos lecteurs qui ne se sont pas spécialement occupés 
de cette nouvelle Géométrie, disons quelques mots sur les investigations du géomètre russe. 
Il part de l'idée que rien n'autorise, sinon les observations directes, à supposer la somme 
des angles d'un triangle rectiligne égale à deux angles droits; ensuite, par une analyse 
aussi ingénieuse que solide, il parvient à prouver qu'en supposant cette somme inférieure 
à la demi -circonférence, la Géométrie n'en subsistera pas moins, si ce n'est dans la na- 
ture, du moins en théorie. En s'appuyant sur cette nouvelle hypothèse l'auteur donne les 
équations fondamentales qui déterminent la dépendance entre les côtés et les angles d'un 
triangle rectiligne; il passe ensuite aux expressions générales des éléments différentiels 
des lignes courbes, des s.urfaces et des volumes des corps, et applique les nouvelles for= 
mules à la recherche des valeurs d'un grand nombre d'intégrales définies. 
Voici, en propres termes de M"^ Lobatschewsky , les conséquences auxquelles il ar- 
rive : . 
Dans la théorie rien ne s'oppose à admettre que la somme des angles d'un triangle 
rectiligne soit moindre que deux angles droits. 
« 2". Dans l'hypothèse de la somme des angles d'un triangle moindre que deux angles 
droits, les équations de la Géométrie imaginaire peuvent être substituées aux équa- 
tions ordinaires sans mener jamais à quelques résultats absurdes. 
«t 3°. La Géométrie imaginaire est conçue sur un plan plus général que la Géométrie usi- 
tée qui n'en est qu'un cas particulier, et qui en dérive dans la supposition des lignes 
extrêmement petites; de sorte que cette dernière Géométrie n'est sous ce rapport 
qu'une Géométrie différentielle. 
1) Briefwechsel zwischen С. F. Gauss und H. C. Schu- 
macher; herausgegeben von C. A. F. Peters ; Altona 
1860- 1865, 
2) Journal de Grelle, T. 17, page 302. 
