Considérations sur quelques singularités etc. 
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«4". Les valeurs des éléments différentiels des lignes courbes, des surfaces et du volume 
des corps sont les mêmes dans la Géométrie imaginaire et dans la Géométrie usitée. 
« 5°. L'hypothèse de la somme des angles d'un triangle moindre que deux angles droits 
ne peut avoir d'application que dans l'analyse, риіэдие les mesures directes ne nous 
montrent pas dans la somme des angles d'un triangle la moindre déviation de deux 
angles droits. » 
Après cette énumération des résultats de sa Géométrie, M*^ Lobafschewsky ajoute, 
qu'en s'appuyant sur quelques observations astronomiques, il a prouvé que dans un tri- 
angle dont les côtés sont de même ordre de grandeur que la distance de la terre au soleil, 
la somme des trois angles ne peut jamais différer de deux angles droits d'une quantité su- 
périeure à О^'ОООЗ en secondes sexagésimales. Cette différence sera encore d'autant 
moindre que les côtés du triangle que l'on considère seront plus petits. Il est indubitable 
que ce dernier résultat nous autorise à accepter, dans la pratique, et avec une pleine con- 
fiance, tous les principes de la Géométrie d^Euclide. 
On voit combien ces conséquences contredisent les notions de la Géométrie ordinaire, 
et c'est à raison de cette discordance qu'on a affecté aux spéculations de cette nouvelle 
nature la dénomination de Géométrie non - euclidienne. Si l'on approfondit les conceptions 
de cette dernière, il est impossible de ne pas reconnaître la solidité des objections que ses 
partisans produisent contre toutes les démonstrations de la théorie usitée des parallèles. 
Leur dialectique, qui ne s'appuie que sur les propriétés élémentaires de la droite, et qui 
rejette complètement le témoignage des sens, a causé bien des déceptions à nombre de 
mathématiciens qui, jusque-là, étaient certains d'avoir satisfait à la rigueur géométrique 
Il n'est pas douteux que les mêmes déceptions attendent tous ceux qui, à l'avenir, per- 
sisteront à vouloir baser leurs démonstrations sur les notions ordinaires de la ligne droite. 
Au reste, soit dit en passant, quelques géomètres de premier ordre voient dans les 
objections subtiles des non - euclidiens un véritable abus d'argumentation, abus que M' 
J. Bertrand a si spirituellement qualifié du nom de débauche de logique''). 
Un autre mathématicien connu. M' Abel Transon^ ennemi déclaré de la Géométrie 
imaginaire, en exposant les idées des adeptes de cette doctrine relatives à la rencontre à 
l'infini de deux lignes parallèles, s'arrête sur un paradoxe que ceux-ci imputent aux parti- 
sans de la Géométrie â^Euclide. Prévoyant que l'exposition abstraite qu'il donne d'abord 
de ce paradoxe sera difficile à suivre, M"^ Transon cherche à la rendre plus intelligible en 
lui substituant cette autre, moins scientifique à la vérité, mais qu'il tient pour tout-à-fait 
équivalente : 
«Deux philosophes, ayant longuement disputé sur un point sans pouvoir se mettre 
«d'accord, se séparent en se tournant le dos, et alors, chacun suivant une pensée contraire 
1) Comptes-rendus, Tome 69, page 1266. | d'une Pseudo-géométrie ; fa,T Abel Transon; Evreus, 1871, 
2) Le l'infini ou Métaphysique et Géométrie à l'occasion j page 21. 
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