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V. BOUNIAKOWSKY, 
«à celle de l'autre, ils s'éloignent de plus en plus sans quitter une même droite qu'ils par- 
ce courent dans ses deux directions opposées. Or, on leur certifie d'une part, au nom d'Eu- 
«clide, que s'ils continuent de marcher indéfiniment dos à dos, ils se rencontreront face à 
«face; ce qui les étonne! — e^ d'autre part, Lobatschewsky survient, déclarant qu'en 
«effet, marchant toujours ainsi, ils ne manqueront pas de se rencontrer, mais seulement 
((après avoir traversé une étendue idéale de la droite au-delà de Vinfini; ce qui les effraie! 
«—- D'ailleurs, ils entendent des assistants dire que les géomètres sont toujours clairs, et 
«les métaphysiciens toujours obscurs; ce qui les renverse!») 
Depuis bien des années, et à plusieurs reprises, j'ai publié quelques essais sur la 
qu-estion des parallèles. Mon dernier travail relatif à cette matière, en langue russe, paru 
en 1853 '), a été une monographie assez détaillée de cette théorie avec un aperçu histo- 
rique des différentes tentatives qui ont été faites pour l'établir. Dans cet opuscule j'ai 
tâché de mettre dans son jour le côté faible des démonstrations principales de cette 
doctrine, et de fixer d'une manière précise le point capital de la difficulté. Je reviens en- 
core aujourd'hui sur ce même sujet: je commence dans cet opuscule par mettre en regard 
les propositions principales dans les deux Géométries, et j'y ajoute un résultat concernant 
les lignes droites qui, dans le sens des non- euclidiens, ne se coupent pas. Je passe en- 
suite à l'indication de plusieurs singularités et contradictions avec le témoignage de nos 
sens qui se présentent dans les résultats auxquels on arrive, quand on nie les bases de la 
Géométrie euclidienne. Pour éclaircir encore davantage ce nouveau genre de spéculation, 
j'examine avec détail la démonstration présentée en 1869 à l'Académie des Sciences de 
Paris par M' Carton, et qui a provoqué entre quelques mathématiciens une controverse 
assez animée. Je termine mon opuscule par l'essai d'une démonstration de la théorie or- 
dinaire des parallèles, basée sur une propriété caractéristique de la ligne droite, diffé- 
rente de celles que l'on emploie communément. 
Les remarques qui vont suivre feront pleinement ressortir les contradictions mani- 
festes qui subsistent entre le témoignage de nos sens et les conceptions abstraites que 
fournissent les raisonnements basés sur les seules notions relatives à la ligne droite, ad- 
mises actuellement en Géométrie. Le petit nombre de nos indications qui, d'ailleurs, pour- 
raient être multipliées à volonté, suffira pour mettre hors de doute qu'avec ces seules 
notions la théorie des lignes parallèles ne saurait être établie. Ces notions, comme on le 
sait, se réduisent aux suivantes: entre deux points on peut toujours mener une ligne droite, 
et seulement une seule; une ligne droite peut être prolongée indéfiniment dans les deux sens; 
les portions de la ligne droite coïncident par la superposition; la ligne droite est le chemin le 
plus court d'un point à un autre. Pour résoudre la question des parallèles dans le sens 
d'Euclide, ces notions ne suffisent pas: tout récemment encore M'^ C. Flye S^'- Marie^) 
1) Параллельный линіи (Ученыя Записки Император- 
ской Академіи Наукъ по первому и третьему Отдѣде- 
иіямъ; Томъ II, Выаускъ 3, 1863 г.). 
2) Voyez son ouvrage: Études analytiques sur la thé- 
orie des parallèles; Paris, 1871. 
