Considérations sur quelques singularités etc. 
5 
s'est appliqué à prouver cette thèse. S'il y a quelque succès à attendre, ce ne serait qu'en 
ayant recours à une propriété caractéristique de la droite, qui permette de la distinguer, 
de prime abord, de toute courbe, et cela par le raisonnement seul. Telle est du moins la 
persuasion de la plupart des mathém aticiens qui se sont occupés de cette matière. 
Pour plus de clarté je commencerai par donner l'énoncé des propositions principales, 
non controversées, ainsi que l'exposé des principaux résultats qu'on obtient, quand on nie 
le postulatum XI tVEucUde. Pour abréger le discours jë me servirai dans ce qui va suivre 
des dénominations de Géométrie euclidienne et de Géométrie mïï -euclidienne: dans la pre- 
mière on admet ce postulatum^ et dans la seconde, on le nie. 
Propositious admises dans les deux Géométries. 
Г. Les notions relatives à la ligne droite, mentionnées tout-à-l'heure. 
2". Tous les angles droits sont égaux entre eux. 
3". Deux droites, situées dans un même plan, et qui font avec une troisième deux angles 
intérieurs dont la somme est égale à deux droits, ne peuvent se rencontrer, quelque loin 
qu'on les prolonge Deux droites de cette espèce sont dites ^jwa^/es entr'elles. 
Pour prévenir toute équivoque nous rappelerons que dans les spéculations de la 
Géométrie imaginaire on attachf^ au terme de lignes parallèles une signification qui, 
dans un certain sens, est plus générale que la précédente. Supposons que du point A 
(fig. 1) on abaisse sur la droite BB la perpendiculaire AB et qu'on élève, au même 
point A, une autre perpendiculaire AE sur AB. Comme il est impossible de prouver 
que toute oblique AC, AF, AG <. . .., prolongée indéfiniment, coupe la ligne 5Z), ad- 
mettons que AF soit la première d'entr' elles qui ne rencontre pas BB. Loba- 
tschewsky affecte à cette ligne AF\â dénomination de parallèle à la droite donnée BB, 
et appelle angle de parallélisme l'angle BAF qui, dans cette hypothèse, devient une 
certaine fonction de la perpendiculaire AB = a. Ainsi, dans ce sens, il n'existe qu'une 
seule parallèle à une ligne droite dans chacune de ses deux directions: cette parallèle, 
comme on le voit, représente la limite commune des droites qui coupent la ligne BD, 
et des droites qui ne la coupent pas. 
On voit par-là que les partisans de la Géométrie imaginaire admettent la possi- 
bilité d'une certaine dépendance entre un angle et une longueur déterminée , ce qui 
contredit la loi des homogènes, considérée pourtant par la plupart des mathématiciens 
comme une vérité incontestable. 
Nous prévenons que dans tout ce qui va suivre nous entendrons par lignes paral- 
lèles des droites comprises dans un même plan, et qui ne se rencontrent pas, quelque 
loin qu'on les prolonge. Cette définition admise, le nombre des parallèles à la droite 
BD (ûg. 1), passant par un même point J., doit être considéré comme illimité dans 
les investigations de la Géométrie non-euclidienne. 
