CONSIDÉEATIONS SUE QUELQUES SINGULAEITÉ8 ETC. 7 
elles, quand elles ne peuvent se rencontrer, quelque loin qu'on les prolonge. A cette dé- 
finition, comme on va le voir, on peut substituer la suivante: 
f) Deux lignes droites, situées dans un même plan, sont parallèles entre elles, quand elles 
peuvent être coupées à angles droits par une troisième droite. 
Si une telle sécante n'existe pas, les deux droites se coupent nécessairement. 
On remarquera que cette définition convient aussi bien à la Géométrie eucli- 
dienne qu'à la Géométrie non-euclidienne à la seule différence près que dans la pre- 
mière, le nombre des sécantes qui satisfont à la condition de couper les deux paral- 
lèles à angles droits est infini, tandis que dans la seconde, il n'en faudra admettre 
qu'une seule. 
Voici la démonstration de ce que nous avançons. 
Soient LL' et MM' (fig. 3) deux droites qui se coupent au point E. D'un point 
arbitraire P de la ligne MM' abaissons sur LL' la perpendiculaire PQ, puis du point 
Q sur MM' Ja perpendiculaire QP', de P' sur LL' la perpendiculaire P'Q' et ainsi de 
suite. Par la propriété des perpendiculaires, les longueurs PQ, QP', P'Q' etc., iront 
en diminuant. Observons de plus que ces longueurs ne peuvent pas converger vers 
une limite finie, car, dans ce cas, on obtiendrait un triangle dans lequel la somme 
des trois angles serait supérieure à deux angles droits, ce qu'on sait être impossible. 
Donc, elles convergeront vers zéro, limite qu'elles atteindront au point E. Nous 
sommes par conséquent en droit de conclure que si deux droites LL' et MM' 
(fig. 4), situées dans un même plan, et suffisamment prolongées, finissent par se ren- 
contrer, les longueurs des perpendiculaires telles que PQ, QP', P'Q' etc. iront en dé- 
croissant, et finiront par s'annuler au point d'intersection de LL' avec MM' . 
Voyons maintenant ce qui arrivera dans le cas de deux droites qui ne se ren= 
contrent pas, c'est-à-dire de deux droites parallèles. Dans tout ce qui va suivre 
nous sous-entendrons toujours que toutes les droites considérées se trouvent com- 
prises dans un même plan. Dans la Géométrie euclidienne les perpendiculaires PQ, 
QP., I^Q' etc. se confondront entr'elles, et les trois droites LL', MM' et PQ forme- 
ront la figure 5 , en sorte que PQ , perpendiculaire à LL' et MM', représentera la 
base de ces deux lignes parallèles. Pour tout autre point pris sur LL' ou M3I' 
(fig. 5), on obtiendra absolument le même résultat, de sorte que le nombre des bases 
sera inßni. 
11 n'en est plus de même, quand on raisonne dans le sens de ceux qui nient les 
principes de la Géométrie usitée. On devra admettre, faute d'une démonstration du 
contraire, que les deux parallèles n'ont qu'wwe seule base, car, s'il y en avait seule- 
ment deux, on obtiendrait un quadrilatère dont chacun des quatre angles serait 
droit, ce qui entraînerait immédiatement la légitimité de toutes les propositions de la 
théorie euclidienne des parallèles. 
Cela posé, faisons voir que deux droites situées dans un même plan et qui ne se 
